Integration durch Substitution

Aufrufe: 698     Aktiv: 24.05.2020 um 18:17
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Hallo, ich sitze vor folgender Aufgabe:

es soll folgendes Integral mit der Substitution \( u = ln(x)  \) berechnet werden : \( \int_1^e \frac{ln(x)} {x \cdot \sqrt{1+(ln(x))^2} } dx \)

Ich habe folglich \( u = ln(x) \) und \(  dx = xdu \) eingesetzt. und komme auf \( \int_1^e \frac{u} { \sqrt{1+u^2} } du \)

Das habe ich partiell integriert mit \( f(u) = u \) und \( g'(u) = \frac{1} { \sqrt{1+u^2}}   \)

Um von g'(u) die Stammfunktion zu bilden, habe ich nochmals substituiert:

mit \( \sinh(z) = u \) und \( \cosh(z) = du \)

Somit wird das Integral der partiellen Integration zu \( \int \frac{1}{\sqrt{1+sinh^2}}\cosh(z)dz    \)

das kann umgeformt werden zu: 

\( \int \frac{1}{\cosh(arsinh(z))}\cosh(z)dz    \) was wiederum zu  \( \int \frac{\cosh(z)}{\cosh(arsinh(z))}dz    \) umgeformt werden kann.

 

Ab hier weiß ich nicht wie ich weiter umformen soll um den Term integrieren zu können. Hat jemand Ideen? Danke :)

 

 

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Den Schritt zu den Hyperbel Funktionen ist unnötig. \(g(u) = \sinh^{-1}(u) \) also arsinh(u)
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Student, Punkte: 840

 
Wie bst du darauf gekommen?   ─   m0xpl0x 24.05.2020 um 16:56
Wir durften diese Eigenschaften der Funktionen nachschlagen und so benutzen.   ─   chris112358 24.05.2020 um 17:01
Du musst übrigends auch auf die Grenzen aufpassen. Nach der ersten Substitution änder diese sich nämlich zu 0 und 1 anstatt 1 und e.
Wenn es dir auch nur darum geht die Aufgabe zu lösen. dann versuche doch mal \( \sqrt{1 + u^2}\) abzuleiten.   ─   chris112358 24.05.2020 um 17:06
Wieso verschieben sich die Grenzen nach der Substitution? das kommt mir irgendwie neu vor   ─   m0xpl0x 24.05.2020 um 17:07
Das kannst du dir an einem einfachen Beispiel klarmachen.
Betrachte die Funktion \( f(x) = x \) und das Integral \( \int_0^1 f(x) dx \)
Wenn du jetzt mit \( g(x) = x+1 \) substituieren willst, musst du auch die Grenzen entsprechend verschieben   ─   chris112358 24.05.2020 um 17:10
Nebenbei hast du noch einen Fehler gemacht.
\( \sqrt{1 + \sinh (u)} = \cosh(u) \) und nicht \( \cosh (\arsinh (u)) \)   ─   chris112358 24.05.2020 um 17:12
ok also soll ich dann \( u \cdot sinh^{-1}(u) - ( u \cdot sinh^{-1}(u) - \sqrt{u^{2}+1} \) zurücksubstituieren oder wie ist das gemeint? oder meinst du die Wahl von f(x) und g'(x) war schlecht gewählt?   ─   m0xpl0x 24.05.2020 um 17:23
Ich meine damit, prinzipiell stimmt alles bis auf die letzte Zeile.
Dort müsste es heißen \( \int \frac{ \cosh }{ \cosh} \text{anstatt} \int \frac{\cosh}{\cosh(\sinh^{-1})} \)   ─   chris112358 24.05.2020 um 17:35
Okay wäre \( \int \frac{cosh(z)}{cosh(z} dz \) dann = 1 also integriert = z und rücksubstituiert = arsinh(u) ?   ─   m0xpl0x 24.05.2020 um 17:44
Ja   ─   chris112358 24.05.2020 um 17:51
Aber wenn ich dann rücksubstituiert habe und dann die Grenzwerte einsetzte, habe ich ja ein ln(0) was nicht definiert ist. abe ich da einen Fehler gemacht?   ─   m0xpl0x 24.05.2020 um 18:02
wo bekommst du denn wieder ein ln()?
Könntest du vielleicht deinen gesammten Lösungsweg posten?   ─   chris112358 24.05.2020 um 18:10
Oben steht ja, dass u für ln(x) substituiert wird, und wenn sich die Grenzen verschieben, dann muss der neue Grenzwert ja später wieder in ln(x) eingesetzt werden   ─   m0xpl0x 24.05.2020 um 18:12
Ach so
wenn du rücksubstituierst dann verschieben sich die Grenzen ja wieder, du hast dann wieder die ursprünglichen Grenzen.   ─   chris112358 24.05.2020 um 18:16
Ah Okay das wusste ich nicht danke :)
   ─   m0xpl0x 24.05.2020 um 18:17

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