(Twitter)
Korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege oder ihr einen besseren Vorschlag habt:
Ich hätte jetzt für a) gesagt, dass man versucht mittels des Differenzialquotienten mit der „h-Methode“ versucht differenzierbarkeit zu zeigen bzw. Irgendwie dass links und rechtsseitige Ableitungen übereinstimmen.
Und dann eben noch mit den üblichen ableitungsregeln f‘(0) berechnet....
Für b) :
An sich würde es ja reichen zu zeigen, dass dass f nicht bijektiv ist sofern die Null im Definitionsbereich liegt. Sollte ich dann dazu das Bild bestimmen um zu gucken ob f surjektiv ist? Das sollte ja auf ersten Blick auch passen entsprechend der Funktionsdefiniton. Also wird es wahrscheinlich darauf hinauslaufen zu zeigen, dass f nicht injektiv ist. Wie mache ich das allgemein für ALLE teilmengen die 0 enthalten?
Vielen Dank schonmal!
Wie erwähnt wurde, wäre es sinnvoll die Stellen der Ableitung zu betrachten, wo es ein Vorzeichenwechsel, da es dadurch keine Injektivität mehr gibt. Die Ableitung der Funktion \(f(x)\) ist
\(f'(x) = 2( 2\sin(\frac{1}{x})x - cos(\frac{1}{x}) + 0.5) \).
In deinem Fall gibt es bei jeder Nullstelle der Ableitungsfunktion einen Vorzeichenwechsel.
Da zu zeigen ist, dass \(f(x)\) für jedes offene Intervall \(I\), das die 0 enthält, nicht invertierbar ist, ist es sinnvoll \(\lim_{x \to 0} f'(x)\) zu betrachten. Hier muss man nur noch das Grenzwertvehalten von \(\cos(\frac{1}{x}) + 0.5\) genauer betrachten, weil \(\lim_{x \to 0} 2 \sin(\frac{1}{x})x = 0\) ist.
Die Funktion \( \cos(\frac{1}{x})\) nimmt den Wert -1 an, für alle \(x = \frac{1}{\pi + 2z \pi}\) mit \(z \in \mathbb{Z}\) und nimmt den Wert 1 an, für alle \(x = \frac{1}{2z \pi}\). Dies ist insofern wichig, da bei \( \cos(\frac{1}{x}) = -1\) die Ableitung \(f'(x)\) negativ ist und bei \( \cos(\frac{1}{x}) = 1\) die Ableitung positiv ist (Natürlich hätte man auch andere Werte nehmen können, wo dies auch gilt). Aufgrund der Stetigkeit von \( \cos(\frac{1}{x})\) muss es also dazwischen einen Stelle geben, wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet (Zwischenwertsatz) .
Schlielich ist noch zu zeigen, dass in jeder \(\epsilon\)-Umgebung \( \cos(\frac{1}{x})\) die Werte -1 und 1 annimmt. Das heißt in dem Fall: Für jedes \(\epsilon > 0\) gibt es ein \(x\) mit \(\vert x \vert < \epsilon\) und \(x = \frac{1}{n \pi}\) mit \(n \in \mathbb{N}\). Da \(\frac{1}{n}\to 0\) gilt und \(\frac{1}{n\pi} < \frac{1}{n}\) ist, gibt es in der Tat in jeder \(\epsilon\)-Umgebung Stellen, wo \( \cos(\frac{1}{x})\) die Werte -1 und 1 annimmt.
Somit ist gezeigt, dass die Funktion \(f(x)\) in keinem offenen Intervall \(I\), das die 0 enthält, invertierbar ist.
Schüler, Punkte: 52
Also mit 1/2*n*pi (ohne + pi) komme ich auf -1 ─ flocke93 24.05.2020 um 23:43
