Question

Beweis - Vektorräume, Abb., transponierte Abbildung

Aufrufe: 832 Aktiv: 26.05.2020 um 12:20

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Hallo,

Ich hänge gerade an folgender Aufgabe fest. Es sind V und W als endlichdimensionale Vektorräume gegeben, Phi ist eine Lin. Abbildung von V nach W und Phi^T ist die transponierte Abbildung von W* nach V* (Dualräume) und ich darf beweisen, dass der Kern von Phi das gleiche ist wie der Annulator N' des Image von Phi^T. Und dazu kommt noch, dass für y aus W gilt: y ist der Nullvektor gdw jedes z* aus W* skalarmultipliziert mit y gleich 0 ist. Die zweite Aussage benötige ich anscheinend um die erste Aussage zu beweisen und muss diese auch noch zeigen.

Ich hab meinen Lösungsversuch mal als Bild drangehangen. Ich versteh jz nur a) nicht, warum ich die zweite Aussage beweisen soll und b) wie ich bei meinem Lösungsversuch von Zeile 2 auf Zeile 3 komme (dort wo das Fragezeichen rechts steht). Den Schritt hab ich nämlich nur äquivalent zu einem ähnlichem Beweis ausgeführt aber ich könnte jz nicht begründen, warum das richtig ist (wenn's das überhaupt ist).

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gefragt 25.05.2020 um 15:43

karamellkatze
Student, Punkte: 86

kannst du kurz erklären was mit annulator und gdw gemeint ist? ─ b_schaub 25.05.2020 um 17:10

Gdw ist die Abkürzung für genau dann wenn und da war ich zu faul das auszuschreiben (bzw ich hätte aber auch den Äquivalenzpfeil schreiben können)
Und für den Annulator(gelegentlich auch Annihilator in der Literatur genannt) haben wir aufgeschrieben:
Sei V Vektorraum über K, A Teilmenge von V, U Teilmenge von V*. Dann ist N(A):={u| u€V* und für alle x€A: Skalarprodukt von u und x =0} Annulator von A in V.
Und N'(U):={x| x€V und für alle u€U: Skalarprodukt von u und x =0} Annulator von U in V. ─ karamellkatze 25.05.2020 um 17:57

ah okay danke ich überleg mir was ─ b_schaub 25.05.2020 um 18:10

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1 Antwort

b_schaub · Answer 1 · 2020-05-25T18:27:02Z

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okay wenn ich die aufgabe richtig verstande habe (bei dir haben sich da ein paar fehler eingeschleichen, weil du wahrscheinlich noch nicht so sicher mit den begriffen bist)
zielt die aufgabe auf den kanonischen isomorphismus zwischen V und V** ab

deine umformungen sind leider erstmal nicht richtig, weil du ja in der zweiten zeile zb das spd von einem element aus W* nimmst - das wird schwierig

um die hilfsaussage zu zeigen (wahrscheinlich soll da stehen: y ist der Nullvektor gdw für jedes z* aus W* gilt: z*(y)=0, oder? )
kannst du dir ja mal folgendes überlegen: die eine richtung der inklusion sollte klar sein, für die andere kannst du dir die kanonische basis von W* nehmen. die bildet ja y auf die jeweiligen komponente ab.

für die eigentliche aussage kannst du mal versuchen, den annulator umzuschreiben mithilfe des kanonischen isomorphismus von V** nach V. siehst du dann eine möglichkeit die hilfsaussage anzuwenden?

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geantwortet 25.05.2020 um 18:27

b_schaub
Student, Punkte: 2.33K

Ich dachte eig, dass das für das skp steht...
Moment warum soll ich mir die kanonische Basis zur Hand nehmen? Ich versteh nämlich noch nicht, wieso mir die Basis hilft, die Rückrichtung der Hilfsaussage zu beweisen ─ karamellkatze 25.05.2020 um 19:08

ja da hast du recht, schon komisch. ansich ist das ja eine funktion, also wie würde man dafür das skp definieren?
man könnte natürlich z* als vektor auffassen wegen linearität - dann würde damit das gleiche gemeint sein wie in meiner antwort. aber sorry dann war das nicht dein fehler
und ich bin mir gerade nicht sicher obs meiner oder der vom prof ist haha
(eigentlich ist die matrixdarstellung von z* ja ein zeilenvektor, dafür ist das skp ja aber erstmal nicht definiert)

oE ist ja W=K^n mit K körper und n natürliche zahl. wenn die rechte aussage gilt (mit annahme, dass damit das gleiche gemeint ist wie ich gesagt hab) dann gilt auch für die kobasis von W* bzgl der kanonischen basis von W die rechte aussage. die kobasis bildet eta auf seine jeweiligen komponenten in K ab. die müssen dann ja aber alle 0 sein. dementsprechend besteht eta nur aus 0en, ist also der 0-vektor

mich wundert, dass er eine gleichheit von Ker phi mit N'(im phi*) will, macht das euer prof öfter so dass er statt kanonischem isomorphismus gleichheit schreibt?

ja da hast du recht, schon komisch. ansich ist das ja eine funktion, also wie würde man dafür das skp definieren? 
man könnte natürlich z* als vektor auffassen wegen linearität - dann würde damit das gleiche gemeint sein wie in meiner antwort. aber sorry dann war das nicht dein fehler
und ich bin mir gerade nicht sicher obs meiner oder der vom prof ist haha
(eigentlich ist die matrixdarstellung von z* ja ein zeilenvektor, dafür ist das skp ja aber erstmal nicht definiert)

oE ist ja W=K^n mit K körper und n natürliche zahl. wenn die rechte aussage gilt (mit annahme, dass damit das gleiche gemeint ist wie ich gesagt hab) dann gilt auch für die kobasis von W* bzgl der kanonischen basis von W die rechte aussage. die kobasis bildet eta auf seine jeweiligen komponenten in K ab. die müssen dann ja aber alle 0 sein. dementsprechend besteht eta nur aus 0en, ist also der 0-vektor

mich wundert, dass er eine gleichheit von Ker phi mit N'(im phi*) will, macht das euer prof öfter so dass er statt kanonischem isomorphismus gleichheit schreibt?

─ b_schaub 25.05.2020 um 19:22

Hm ich hätte vllt direkt mithinschreiben können, dass altdeutsch z und eta(was bei uns eig das altdeutsche y darstellen soll) Vektoren sind. Ich dachte, das wär eine allgemeine Konvention, aber jetzt weiß ich, dass ich das immer dazu erwähnen sollte.
Kurze Frage: was ist ein kanonischer Isomorphismus? Also das ein Isomorphismus ein bijektiver Homomorphismus ist, ist klar und auch dass V und V* isomorph sind, aber warum kanonisch?
Und ja ich würd sagen, unser Prof schreibt das immer so. ─ karamellkatze 26.05.2020 um 10:03

hier betrachtest du ja den annulator von einer menge, die im dualraum liegt (im phi^t ist untermenge von V*)
dementsprechend ist der annulator untermenge von V**
V und V* sind nicht kanonisch isom, sondern V und V**. der isom ist gegeben durch v -> (f:V*->K, g -> g(v))
wegen der natürlichkeit des isoms kann man die elemente aus V mit denen aus V** identifizieren - es macht also sinn von gleichheit und nicht nur von isomorphie zu sprechen (auch wenn ich finde das euer prof etwas dazu hätte schreiben können inwiefern da gleichheit gilt bei ker phi = N'(im phi^T)) ─ b_schaub 26.05.2020 um 12:20

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