nicht isomorphie würde ich damit begründen, dass Z/4Z ja zyklisch ist, Z/2Z x Z/2Z aber nicht.
Z/2Z x Z/2Z besteht ja aus allen paaren (a,b) mit a,b aus Z/2Z also insgesamt {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. die addition ist komponentenweise. beantwortet das deine frage?
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und bei Z/2ZxZ/2Z kannst es ja selber probieren. wenn es zyklisch wäre, müsste es ja ein erzeugendes element geben - es gibt ja aber nur 4 also ist es relativ einfach alle einmal durchzuprobieren. also schau dir an wie der spann von den jeweiligen elementen aus Z/2Z x Z/2Z aussieht ─ b_schaub 26.05.2020 um 17:23
damit eine gruppe wie gesagt zyklisch ist, muss es ein element x geben, sodass sich jedes element aus der gruppe darstellen lässt als x + x+x+x+... für irgendeine anzahl an x'en.
um zu zeigen, dass es nicht zyklisch ist, kannst du also für jedes x ausprobieren, ob sich alle anderen elemente als summe von x'en darstellen lassen. ─ b_schaub 26.05.2020 um 17:43
wenn man es ganz genau begründen wollte, könnte man auch sagen, dass ang phi ist isom, dann ist wegen injektivität phi(1) ~= 0, aber auch phi(1+1)~=0 das beides zusammen geht aber nicht, weil in Z/2Z x Z/2Z alle elemente maximal ordnung 2 haben (reminder: ordnung von x ist die natürliche zahl n für die gilt, dass n*x = 0 und k*x ~= 0 für 0
um isomorphie zu begründen, ist es oft am einfachsten, einen expliziten isomorphismus zu finden. probier das mal für die kleinsche vierergruppe
das soll nur verdeutlichen, dass so ein argument nur für widersprüche gut ist, aber nicht um isomorphie zu begründen. wie gesagt musst du stattdessen einen isomorphismus per hand bauen - eigentlich nicht schwierig in dem fall weil ja ein homomorphismus Z/2Z x Z/2Z -> kleinsche vierergruppe durch angabe der bilder von (1,0) und (0,1) eindeutig bestimmt ist - bijektivität müsste man dann halt nur noch zeigen ─ b_schaub 26.05.2020 um 19:11
Zuerst schau ich mal ob die Ordnung übereinstimmt. Dann schau ich ob beide zyklisch/nicht zyklisch sind. Falls was nicht übereinstimmt, weiss ich dass sie nicht isomorph sind. Aber die beiden aussagen reichen nicht, um zu begründen, dass sie isomorph sind? ─ mathe92x 26.05.2020 um 19:22
aber genau, andersrum gehts nicht. rein aus den eigenschaften, folgt noch nicht isomorphie. ─ b_schaub 26.05.2020 um 19:30
aber wenn du viel mit den sachen übst, siehst du solche sachen immer ganz schnell. ebenso schnell sieht man meistens auch den isomorphismus wenn er denn existiert.
sicher dass deine prüfung nur 10min dauert? normal geht das schon etwas länger ─ b_schaub 26.05.2020 um 20:41
Kannst du es bisschen ausführlicher erklären?.
Die Paare habe ich mir aufgeschrieben und weiter weiss ich nicht.. Warum ist Z/2Z x Z/2Z nicht zyklisch und warum Z/4 zyklisch? ─ mathe92x 26.05.2020 um 17:21