Das Bild \( im(f) \) der linearen Abbildung \(f\) ist ein Vektorraum und da die Basisvektoren von \(W\) in \( im(f) \) liegen, muss somit auch deren lineare Hülle \(W\) Teilmenge von \( im(f) \) sein. Andererseits ist \( im(f) \) trivialerweise auch Teilmenge von \(W\). Also gilt \( im(f) = W \) und somit ist \(f\) surjektiv.

Für ein \(v \in ker(f) \) schreiben wir \( v = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \) mit einer Basis \( (v_1, \dots, v_n) \) von \(V\) und erhalten somit \( 0 = f(v) = \sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i) \). Die \( f(v_i) \) bilden eine Basis, sind also insbesondere linear unabhängig. Somit muss \( \lambda_i = 0 \) sein und wir erhalten \(v=0\). Der Kern von \(f\) besteht also nur aus dem Nullvektor und somit ist \(f\) injektiv.

Die lineare Abbildung \(f\) ist also surjektiv und injektiv und somit ein Isomorphismus.