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Nein, das gilt nicht immer. Definiere \( M = \cup_{n=1}^{\infty} ([0,1] \times \{ \frac{1}{n} \}) \). Die Menge \( (\{0\} \times [0,1]) \cup ([0,1] \times \{0\}) \cup M \) induziert dann einen zusammenhängenden Teilraum von \( ( \mathbb{R}^2 , \vert \cdot \vert ) \). Aber jeder hinreichend kleine Ball um den Punkt \( (1,0) \) enthält unendlich viele nicht-zusammenhängende Mengen.
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Genau, ich sehe grad, dass ich in einem Ausdruck eine Mengenklammer vergessen habe. Das korrigiere ich jetzt gleich.
Epsilon-Ball/-Kugel/-Umgebung bezeichnen (normalerweise) alle das gleiche.
Versuch dir doch mal, die Menge aufzuzeichnen (Da es sich um eine Teilmenge des R^2 handelt ist das ja ohne Weiteres möglich). Dann fällt dir hoffentlich sofort auf, dass eine Umgebung um den Punkt (1,0) unendlich viele \( [0,1] \times \{ \frac{1}{n} \} \) schneidet. Diese Schnittmengen sind alle nicht zusammenhängend, wenn die Umgebung hinreichend klein ist. ─ 42 28.05.2020 um 20:49
Epsilon-Ball/-Kugel/-Umgebung bezeichnen (normalerweise) alle das gleiche.
Versuch dir doch mal, die Menge aufzuzeichnen (Da es sich um eine Teilmenge des R^2 handelt ist das ja ohne Weiteres möglich). Dann fällt dir hoffentlich sofort auf, dass eine Umgebung um den Punkt (1,0) unendlich viele \( [0,1] \times \{ \frac{1}{n} \} \) schneidet. Diese Schnittmengen sind alle nicht zusammenhängend, wenn die Umgebung hinreichend klein ist. ─ 42 28.05.2020 um 20:49
Und was genau ist ein Ball um einen Punkt? Darf ich mir das wie eine Umgebung ähnlich wie eine Kugel um den Punkt vorstellen?
Und wieso sind diese Bälle nicht zusammenhängend? ─ karamellkatze 28.05.2020 um 20:30