Die Ableitung von \( \frac{1}{2} (f(2x) + f(2y)) \) nach \(x\) ist \( f^{\prime} (2x) \) und die Ableitung nach \(y\) ist \( f^{\prime} (2y) \).

Der Hinweis sagt uns nun, dass die Ableitungen gleich sein müssen, also dass \( f^{\prime} (2x) = f^{\prime} (2y) \) ist - und zwar für alle \( x,y \in \mathbb{R} \).

Setzen wir nun \( x = \frac{t}{2} \) und \( y = 0 \), dann erhalten wir \( f^{\prime} (t) = f^{\prime} (0) \) für alle \(t \in \mathbb{R} \), also ist \( f^{\prime} \) konstant. Das bedeutet \( f \) muss von der Form \( f(t) = a \cdot t + b \) sein mit \( a,b \in \mathbb{R} \).

Und tatsächlich, wenn \( f(t) = a \cdot t + b \) ist, dann gilt \( f(x+y) = a (x+y) + b = \frac{1}{2} (2a (x+y) + 2b) = \frac{1}{2} ((a \cdot 2x + b) + (a \cdot 2y + b)) = \frac{1}{2} (f(2x) + f(2y)) \).

Vielleicht schaffst du die (b) ja jetzt selber. Viel Erfolg!