Dein Aufschrieb ist mathematisch wirklich sehr unsauber. Wenn du feststellst, dass eine Funktion eine Definitionslücke besitzt, dann darfst du in deinem Aufschrieb diese Zahl nicht einfach einsetzen - auch im Limes nicht. Außerdem musst du den Limes nach jedem Gleichheitszeichen erneut schreiben, so lange, bis du ihn wirklich ausrechnest. Und du darfst den Limes auch nicht einfach in einen Bruch reinziehen. Das ist nur unter bestimmten Bedingungen möglich.

Gut wäre die Schreibweise so:

\( \lim_{x \to 2-} \frac{3}{x-2} = - \infty \)

Und ja, du musst den Limes tatsächlich schon im ersten Schritt wissen. Den Limes darf man hier nämlich nicht in den Bruch reinziehen und man darf die 2 auch nicht einfach einsetzen. Auch das rausziehen der 3 wäre hier nicht ohne Weiteres möglich, da der Limes nicht endlich ist (Beachte, dass Rechenregeln für Limiten nur unter bestimmten Bedingungen gelten). Wenn du also den Limes explizit nachweisen willst, dann musst du das über die Definition des Limes durch Folgen tun.