\(e^x \) ist eine Funktion - genauso wie \(\sin(x)\), \( \sqrt{x} \), usw. Demnach sind Audrücke wie \(e^{x^2+2} \) eine Vekettung von Funktionen, in diesem Falle die Verkettung von \(x^2+2\) und \(e^x\). Hier muss man also die Kettenregel verwenden.

Die Kettenregel wird zum Ableiten angewandt, wenn mehrere Funktionen ineinander "verschachtelt" (-> also verkettet) sind. 
Die Funktion e^x ist eine Exponentialfunktion, die aber zum Beispiel durch e^(x+2) transformiert werden kann. Jetzt hast du nicht mehr nur "hoch x", sondern "hoch x+2". Wie du weißt, ist f(x) = x + 2 ja auch eine (lineare) Funktion. Also wurden hier eine e-Funktion mit einer linearen Funktion verkettet. Um diese Verkettung auch beim Differenzieren zu berücksichtigen, musst du die Kettenregel anwenden