So wie ich die Aufgabe verstehe, wird an den Ecken des Blechs jeweils ein Quadrat ausgeschnitten, damit man die Seiten dann hochklappen kann und ein Kasten entsteht.

Sei \(x\) die Seitenlänge des Quadrats, das ausgeschnitten wird. Dann ist die Länge der Grundseite des Kastens \(a-2x\) und die Breite \(b-2x\). Die Höhe das Kastens ist \(x\).

Für das Volumen erhalten wir also \( V(x) = (a-2x)(b-2x)x = 4x^3 - 2(a+b)x^2+abx \).

Es folgt \( V^{\prime}(x) = 12x^2-4(a+b)x+ab \) und somit

\( V^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x = \frac{a+b \pm \sqrt{a^2-ab+b^2}}{6} \).

Ferner gilt \( V^{\prime \prime} (x) = 24x - 4(a+b) \), also

\( V^{\prime \prime} ( \frac{a+b+\sqrt{a^2-ab+b^2}}{6}) = 4 \sqrt{a^2-ab+b^2} > 0 \)

und

\( V^{\prime \prime} ( \frac{a+b-\sqrt{a^2-ab+b^2}}{6}) = -4 \sqrt{a^2-ab+b^2} < 0 \)

Also liegt an der Stelle \( x= \frac{a+b-\sqrt{a^2-ab+b^2}}{6} \) ein (lokales) Maximum von \(V\) vor.