Frechet Ableitung und Tootale Bleitung

Aufrufe: 619     Aktiv: 01.06.2020 um 20:10
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Meine Frage ist zur folgenden aufgabe " Sei U unterraum R^n und f: U auf R^m eine Abbildung sowie A : R^n in R^m eine lineare Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz:

f ist differenzierbar in x mit der Ableitung A

<=> lim h -> 0 f(x+h) - f(x) -Ah/ Norm (h) =0 <=> lim h -> 0 Norm (f(x+h) - f(x) -Ah)) / Norm (h) =0 "

Kann man diese aufgabe so lösen indem man so argumentiert das die Norm eine stetige Abbildung ist man somin denn lim bei

lim h -> 0 Norm (f(x+h)) - f(x) -Ah) / Norm (h) =0

in die Norm rein zieht und dann sieht das es einfach nur wieder der lim von

lim h -> 0 f(x+h) - f(x) -Ah) /  h =0 ist und somit einfach nur wieder der definition der Totalen Ableitung entspricht und somit äquivalent zu

lim h -> 0 f(x+h) - f(x) -Ah/ Norm (h) =0 ist ?

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Deine Argumentation ist so leider nicht richtig. Wenn du den Limes in die Norm reinziehst, dann verlierst du im Nenner die Norm von h. Du erhälst also beim Reinziehen nicht die totale Ableitung.

Die Aufgabe ist auch eigentlich ganz gut mit einfacheren Mitteln zu lösen:

Es gilt \( \| \frac{f(x+h)-f(x)-Ah}{\|h\|} - 0 \| = \| \frac{\|f(x+h)-f(x)-Ah \|}{\|h\|} - 0 \| \). Somit erhalten wir \( \| \frac{f(x+h)-f(x)-Ah}{\|h\|} - 0 \| < \varepsilon \) genau dann, wenn \( \| \frac{\|f(x+h)-f(x)-Ah \|}{\|h\|} - 0 \| < \varepsilon \) für alle \( \varepsilon > 0\), also \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)-Ah}{\|h\|} = 0 \) genau dann, wenn \( \lim_{h \to 0} \frac{\|f(x+h)-f(x)-Ah \|}{\|h\|} = 0 \).

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