Induktion für 2^k-2

Erste Frage Aufrufe: 555     Aktiv: 01.06.2020 um 18:46
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Guten Tag, ich habe als Aufgabe das ich eine von mir selber gefundene Gleichung für physikalische Verbindungen per vollständige Induktion beweisen. Die Formel ist 2^k-2 und soweit ich weiß brauch ich dazu eine 2. Formel die für jedes k genau das gleiche Ergebnis rausgibt. Mein Problem ist, dass ich diese 2. Formel nicht finde.

Könnte mir da jemand helfen?

 

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Student, Punkte: 10

 
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Ich weiß nicht, wie genau deine 2. Formel aussehen muss, aber wenn man irgendeine Formel nehmen kann, dann würde ich auf eine variante der geometrischen Summe zurückgreifen:

\( 2^k - 2 = \sum_{n=1}^{k-1} 2^n \)

für \(k \ge 2\).

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So wie ich das verstanden habe kann die 2. Formel egal was für eine Formel sein, es muss nur gegeben sein das bei der vollständigen Induktion für beide Formeln das Gleiche rauskommt damit man eine Gleichung bilden kann. Sprich dort würde stehen Summenzeichen von k=2 bis n 2^k-2=... für alle n>2
   ─   badatmaths 01.06.2020 um 16:10
Du suchst also eine explizite Formel für \( \sum_{k=0}^n (2^k-2) \), hab ich das richtig verstanden?   ─   42 01.06.2020 um 16:13
Ja genau bin mir da nur nicht sicher ob das ganze bei k=0 startet oder bei k=2, weil die Formel in der Abhängigkeit von k>1 aufgestellt wurde   ─   badatmaths 01.06.2020 um 16:16
Achso, okay. Dann versuch mal \( \sum_{k=2}^n (2^k-2) = 2^{n+1}-2(n+1) \)   ─   42 01.06.2020 um 17:07
alles klar werd ich mal versuchen danke dir :D   ─   badatmaths 01.06.2020 um 17:24
also für das kleinste k kommt die gleichung hin, aber wenn ich dann für k=3 nachschau hätte ich links als ergebnis 6 und rechts 8 oder nicht? weiß halt nicht ob man das trotzdem benutzen kann weil es für das kleinste k hinkommt oder nicht.   ─   badatmaths 01.06.2020 um 17:54
Ich verstehe nicht, was du meinst. Das \(k\) ist ja nur eine Laufvariable.   ─   42 01.06.2020 um 18:18
Die Gleichung ist in jedem Falle korrekt. Der Induktionsschritt ist hier
\( \sum_{k=2}^{n+1} (2^k-2) \) \( = 2^{n+1} - 2 + \sum_{k=2}^n (2^k-2) \) \( = 2^{n+1} - 2 + 2^{n+1} -2(n+1) \) \( = 2 \cdot 2^{n+1} - (2 + 2(n+1)) \) \( = 2^{(n+1)+1} - 2 ((n+1)+1) \)   ─   42 01.06.2020 um 18:24
achso okay danke ^^   ─   badatmaths 01.06.2020 um 18:46

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