Mit ein paar algebraischen Kenntnissen ist die Definition von \(R(x,y, \dots)\) eigentlich gar nicht so schwierig. Betrachte den rationalen Funktionenkörper \( \mathbb{R} (X_1,X_2, \dots) \) (Dieser Körper besteht aus allen Quotienten \( \frac{f}{g} \) von Polynomen \(f,g\) aus dem Polynomring \( \mathbb{R}[X_1,X_2, \dots] \)). Die Definition lässt sich dann wie folgt interpretieren: \(R(x,y, \dots) \) ist genau dann ein rationaler Ausdruck in den Variablen \(x,y, \dots\), wenn es ein \( f(X_1,X_2, \dots) \in \mathbb{R}(X_1,X_2, \dots) \) gibt mit \( R(x,y,\dots) = f(x,y,\dots) \).

Beispielsweise ist \(R(x,y) = \frac{x^2+y^2}{xy} + 1\) ein rationaler Ausdruck, da \(f(X_1,X_2) = \frac{X_1^2 + X_2^2}{X_1 X_2} + 1 \) im rationalen Funktionenkörper \(\mathbb{R}(X_1,X_2) \) liegt und \(R(x,y) = f(x,y) \) ist.

Dass \(f\) tatsächlich im rationalen Funktionenkörper liegt, sieht man sofort, wenn man \(f\) als Quotient von Polynomen in der Form \( \frac{X_1^2+X_1X_2+X_2^2}{X_1X_2} \) schreibt. Alternativ kann man auch sagen, dass \( \frac{X_1^2 + X_2^2}{X_1X_2} \) als Quotient von Polynomen in \(\mathbb{R}(X_1,X_2) \) liegt und \(1\) ebenfalls in \(\mathbb{R}(X_1,X_2) \) liegt und da \(\mathbb{R}(X_1,X_2) \) ein Körper ist, muss dann auch die Summe \(f(X_1,X_2) = \frac{X_1^2 + X_2^2}{X_1 X_2} + 1 \) in \(\mathbb{R}(X_1,X_2) \) liegen.

Anderes Beispiel: \(R(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \) ist ein rationaler Ausdruck, denn \(f(X_1) = \frac{1}{X_1} + \frac{1}{X_1^2} + \frac{1}{X_1^3} \) liegt in \( \mathbb{R}(X_1) \) und es gilt \(R(x) = f(x) \).

Dass \(f\) in \( \mathbb{R}(X_1) \) liegt sehen wir wie folgt: \(\frac{1}{X_1}\), \( \frac{1}{X_1^2} \) und \( \frac{1}{X_1^3} \) liegen als Quotienten von Polynomen in \( \mathbb{R}(X_1) \) und da \( \mathbb{R}(X_1) \) ein Körper ist, liegt auch ihre Summe \(f(X_1) = \frac{1}{X_1} + \frac{1}{X_1^2} + \frac{1}{X_1^3} \) wieder in \( \mathbb{R}(X_1) \).