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Was vorher berechnet wurde:
1) \( (1+\frac {1} {n})^n\) ist monoton wachsend
2) \( (1+\frac {1} {n})^n \le \sum_{n=0}^{\infty} \frac {1} {k!} \) für alle n Element N
Meine Versuche:
1. Ich habe erst gedacht es mit vollständiger Induktion zu versuchen, aber da diese Aussage nur für den Limes gilt klappt dies nicht.
2. Ich dachte mit dem Einschließungskriterium da wir Punkt 2 gegeben haben, aber ich finde die andere Seite nicht ;(
3. Durch das Cauchy Kriterium aber da finde ich auch keine Lösung
Sitze schon seit 1 1/2 Stunden dran und finde nichts. Hat jemand noch Ideen?
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gefragt
frodohobbit219
Punkte: 10
Punkte: 10
die zweite Vorkenntnis war gegeben, wir sollten damit zeigen das die Limes überhaupt exestieren
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frodohobbit219
02.06.2020 um 13:10
Naja, auf die zweite Vorerkenntnis kommt man, wenn man \((1+\frac{1}{n})^n\) umschreibt als
\(1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\dots + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\dots(1-\frac{n-1}{n})\).
Durch diese Umformung kannst du es mit deinem 2.ten Versuch beweisen. ─ biggyjay 02.06.2020 um 13:19
\(1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\dots + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\dots(1-\frac{n-1}{n})\).
Durch diese Umformung kannst du es mit deinem 2.ten Versuch beweisen. ─ biggyjay 02.06.2020 um 13:19
okay danke ich probiers gleich mal
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frodohobbit219
02.06.2020 um 13:39
wieso kann man es so schreiben? Wenn ich es einfach hinschreibe werde ich bestimmt keine Punkte bekommen
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frodohobbit219
02.06.2020 um 14:06
Man kann es so umschreiben, indem man \((1+\frac{1}{n})^n\) als Summe mit den Binomialkoeffizienten umschreibt. Durch ein paar einfache Umformungen (besonders zu beachten: die \(n^k\) im Nenner als \(n\cdot n \dots \cdot n\) umschreiben) kommt man dann auf die umschriebene Form.
─
biggyjay
02.06.2020 um 15:48
─ biggyjay 02.06.2020 um 13:09