Entscheidend ist hier die Unterscheidung von welcher Variablen deine Funktion abhängt.

Da die Wirkung jetzt von der Dosiermenge abhängen soll, ist deine Funktion jetzt f(d).
Um jetzt die Funktion für die maximale Wirkung zu berechnen leitest du f(d) nach d ab.

Nennen wir die gesuchte Funktion \(g\). Wenn nun \(m_d\) der maximale Wert von \(f_d\) ist, also die maximale Wirkung (in Abhängigkeit von \(d\)), dann ist die Funktion gegeben durch \(g(d)=m_d \).

Es gilt also, das Maximum von \(f_d\) zu bestimmen. (Wir nehmen an, dass \(d>0\) ist. Das ergibt im Sachzusammenhang Sinn und ansonsten bekommen wir später Schwierigkeiten mit der Wurzel)

Es gilt

\( f_d^{\prime}(t) = \frac{1}{1000} (10d-t^2) e^{ - \frac{t^2}{20d}} \)

und somit \( f_d^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow 10d - t^2 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \sqrt{10d} \)

Man kann nun nachrechnen, dass \( f_d^{\prime \prime}(- \sqrt{10d}) > 0 \) und \( f_d^{\prime \prime}( \sqrt{10d}) < 0 \) ist. An der Stelle \( t = \sqrt{10d} \) liegt also ein Maximum vor. Der maximale Wert ist

\( m_d = f( \sqrt{10d} ) = \sqrt{ \frac{d^3}{1000e} } \)

Die gesuchte Funktion lautet somit

\( g(d) = \sqrt{ \frac{d^3}{1000e}} \)

Ich hoffe, dass das Prinzip klar geworden ist und dass du fehlende Details ggfs. selbst ausarbeiten kannst. (Außerdem hoffe ich, dass ich mich nicht irgendwo verrechnet habe)