Banachscher Fixpunktsatz

Aufrufe: 940     Aktiv: 04.06.2020 um 18:27
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Was genau muss ich denn da zeigen? Das hat ja etwas mit dem Banachschen Fixpunktsatz zu tun aber den hab ich nicht wirklich verstanden. Mich überfordert diese Aufgabe ein wenig

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Student, Punkte: 86

 
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Da ist einiges zu tun. Wie weit bist Du denn? Hast Du schon ein F:R^2->R^2 definiert? Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten. Welche davon für den BFS geeignet ist, kann man nicht immer vorher sehen. Schreib mal Dein F hierhin, dann sehen wir weiter.

Dazu stellt man das Gleichungssystem so um, dass die rechte Seite der ersten Gl "=x" und die der zweiten Gl. "=y" lautet. Links steht dann F(x,y) und das Gleichungssystem lautet dann: F(x,y)=(x,y) (Fixpunktform).

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Lehrer/Professor, Punkte: 38.86K

 
Ich weiß leider so überhaupt nicht, wie ich F definieren soll. Wie geh ich denn da vor und worauf muss ich achten bzw was muss ich im Hinterkopf behalten um F sinnvoll und günstig zu definierenhaben?   ─   karamellkatze 03.06.2020 um 19:11
Ich häng jetzt bei sin(x)-2x=-4+2/3 cos(y) und
sin(y)-2y=2-(cos(x))/3 fest.   ─   karamellkatze 03.06.2020 um 19:55
Achsooo ich dachte es müssten alle x bzw y auf einer Seite stehen... dann ist es (sinx)/2 - (cosy)/3 +2 =x und
(cosx)/6 + (siny)/2 -1 =y   ─   karamellkatze 03.06.2020 um 20:42
Was genau meinen Sie mit , ob wir kontraktiv bewiesen haben? Den einzigen Beweis den ich dazu gefunden habe, ist der vom BFS.   ─   karamellkatze 03.06.2020 um 21:52
Genau, das ist unsere erste Aufgabe dazu, deswegen tu ich mich so schwer, weil ich mich nicht an einem ähnlichen Beispiel orientieren kann.
Wir haben eine Abb f als kontrahierend definiert, falls k<1 und d(f(x),f(y)) <= k · d(x,y) für alle x,y aus X (und (X,d) metr. Raum). Und zur Aufgabe wurde uns mündlich gesagt, dass der euklidische Abstand anzunehmen ist.   ─   karamellkatze 03.06.2020 um 22:46
Okay soweit kann ich erstmal folgen.   ─   karamellkatze 04.06.2020 um 15:42
Ich glaub es ist x~ 2,36 und y~ -1,62   ─   karamellkatze 04.06.2020 um 17:09
Sehr sicher. Eine andere Definition haben wir nicht und zur Norm hat mein Übungsleiter auch gesagt, dass es die euklidsche Norm ist. Außerdem haben wir ganz am Anfang die euklidische Metrik bzw Norm als default festgelegt sofern nichts weiter explizit in der Aufgabe steht.
Es stimmt mich nicht gerade hoffnungsvoll, wenn Sie sagen dass das nicht leicht nachzurechnen sein wird   ─   karamellkatze 04.06.2020 um 17:42

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