Textaufgabe zu Zufallsvariablen und Erwartungswert/Varianz

Aufrufe: 737     Aktiv: 03.06.2020 um 13:02
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Hallo,

ich brauch hilfe bei folgender Aufgabe:

Bei einer Opernvorführung geben n Besucher ihre Regenschirme an der Garderobe ab. Nach Ende der Vorführung werden die Regenschirme zufällig an die Besucher verteilt, wobei jede Person einen Regenschirm gleichverteilt aus der Menge der noch vorhandenen Schirme erhält. Die Zufallsvariable X bezeichne die Zahl der Personen, die ihren eigenen Schirm zurückerhalten haben. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

Hinweis: Stellen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum auf und überlegen Sie sich geeignete

Zufallsvariablen Yi, sodass X = Y1 + · · · +Yn gilt.

 

Leider habe ich schon schwierigkeiten dabie, den passenden W-Raum aufzustellen. 

Vielen dank schonmal im vorraus und LG Joline

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Hallo Joline,

\(Y_i\) ist eine Zufallsvariable, die angibt, ob die \(i\)-te Person ihren Regenschirm bekommt. Da es nur zwei Ausgänge gibt (ja oder nein), handelt es sich um eine Bernoulli-verteilte Zufallsvarible mit Wahrscheinlichkeit \(P(Y_i=1)=\frac1n\) und \(P(Y_i=0)=\frac{n-1}n\).

Wenn man \(n\) unabhängige Bernoulliverteilte Zufallsvariablen zusammenzählt erhält man eine Binomialverteilte Zufallsvariable \(X\) deren Erwartungswert und Varianz bekannt ist.

Viele Grüße

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Sind die Zufallsvariablen Yi denn unabhängig? Wenn jetzt eine Person einen Schirm einer anderen Person erhält beeinflusst das doch die Wahrscheinlichkeit, dass die Person, die eigenlicher Besitzer des Schirms ist, ihren eigenen Schirm zurück bekommt.   ─   joline 03.06.2020 um 12:20
Die Zufallsvariablen sind unabhängig. Jeder bekommt einen zufälligen Schirm aus n Schirmen, dann ist die Wahrscheinlichkeit für jeden 1/n, dass man den eigenen bekommen hat.   ─   holly 03.06.2020 um 13:02

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