Du kannst direkt die Produkt- und Kettenregel verwenden, aber auch erst ausmultiplizieren. Ist hier beides machbar und beides schenkt sich nicht viel. Willst du es mal probieren? Auf beiden Wegen?

Das musst du dem Unterricht entnehmen. Neben dem Genannten wird oft, aber nicht immer, der Definitionsbereich verlangt, wie auch das Verhalten im Unendlichen. Die von dir genannten sind aber der Mindeststandard würde ich sagen.

Die Kettenregel brauchst du nicht zwingend, da e^x ja eine Besonderheit in der Ableitung hat.

Allerdings brauchst du für den restlichen Term bereits die Produktregel.
Da (x-2) eine relativ simple Ableitung hat, gehe ich aber davon aus, dass du das soweit ohne Lösung schaffst.

Bei der Kurvendiskussion geht es genau um die Dinge, die du genannt hast. In der Regel ist in Klausuraufgaben aber explizit genannt, welche davon du errechnen sollst. Sowas wie zB Grenzwerte kommen ab und an beispielsweise auch bei Kurvendiskussionen vor