Beweis konvergente Teilfolge einer Cauchyfolge in normierten Raum

Aufrufe: 889     Aktiv: 04.06.2020 um 20:21
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Hallöchen 🍍

Und zwar stecke ich gerade mittendrin im Beweis von “ein normierter Raum ist genau dann vollständig, wenn jede Cauchyfolge eine konvergente Teilfolge besitzt.“ die Rückrichtung hab ich bereits aber wie beweise ich die Hinrichtung? Die Vollständigkeit gibt ja bereits her, dass jede Cauchyfolge konvergiert aber wieso konv. dann auch jede Teilfolge? 

Ich bräuchte bitte einen Hinweis.

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Student, Punkte: 86

 
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Das ergibt sich direkt aus der Definition der Konvergenz. Wenn ab dem Index n alle Folgenglieder in einer \(\epsilon\)-Umgebung des Grenzwerts liegen, dann erst recht alle Folgenglieder der Teilfolge.

Interessant ist nur die Umkehrung: Dass man nicht zeigen muss, dass die Cauchyfolge konvergiert, sondern dass es reicht, zu zeigen, dass jede Cauchyfolge eine konvergente Teilfolge hat. Für Anwendung ist das manchmal sehr nützlich.

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
Hm dann ist es also nicht richtig wenn ich gezeigt habe, dass jede CF mit einer konvergenten Teilfolge auch konvergiert und deswegen der Raum vollständig sein muss?   ─   karamellkatze 04.06.2020 um 13:29
Doch, das ist genau richtig. Ich habe mich wohl missverständlich ausgedrückt. Man kann den von dir gezeigten Satz benutzen um zu schließen, dass ein normierter Raum vollständig ist, wenn man zeigen kann, dass jede Cauchyfolge eine konvergente Teilfolge besitzt.   ─   digamma 04.06.2020 um 18:55
Achso okay. Da hab ich das wohl falsch verstanden.   ─   karamellkatze 04.06.2020 um 20:21

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