Xln(x²)

Aufrufe: 906     Aktiv: 04.06.2020 um 13:38
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Guten Tag,

wie kann man den Grenzwert lim(xln(x²)), x->0 mathematisch korrekt beweisen.

Ein unendlich hoher negativer Wert mal einem unendlich kleinen Wert. Eines der beiden muss ja quasi "dominanter" steigen, wie kann man das dann mathematisch begründen?

 

Viele Grüße

Chris

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Zuerst gilt \(\ln(x^2)=2\ln(x)\)

Mit Satz von L'Hospital bekommst du:

\(\lim 2x\ln{x}=\lim\frac{2\ln{x}}{\frac1x}==\lim\frac{\frac2x}{-\frac{1}{x^2}}\)

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Da hast du recht. Am einfachsten geht es wohl mit l'Hospital den du in deinen Tags ja schon angemerkt hast. Dazu etwas umschreiben.

\(\lim x\ln(x^2) = \lim x\cdot 2\ln(|x|) = 2\lim \frac{\ln(|x|)}{\frac1x}\)

(Dabei ist \(x = \frac{1}{\frac1x}\))

Nun l'Hospital

\(2\lim \frac{\frac1x}{-\frac{1}{x^2}} = \lim -2x = 0\)

Der Grenzwert ist also 0.

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