Wie zeigen, dass Konstante des charakteristisches Polynoms die Determinante der Matrix ist?

Aufrufe: 858     Aktiv: 08.06.2020 um 20:46
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Ich weiß immer nicht genau, was mit zeigen gemeint ist, aber das ist mein Ansatz.
Die Definition vom charakteristischen Polynom ist xA(λ) := det(λEn - A).
Hierbei ist A die zu analysierende Matrix und En die Einheitsmatrix.
Laut dem Hinweis setze ich nun 0 ein für λ.

xA(0) = det(0En - A) = det(-A) 

wegen der Rechenregeln zu Determinanten kann ich nun das Minus herausziehen (Regel 5 von hier https://www.massmatics.de/merkzettel/#!407:Rechenregeln_zu_Determinanten), was xA(0) = (-1)^n  * det(A) ergibt. Nun weiß ich jetzt nicht, wie ich die Betragsstriche ins Formale bringe. Zumindest ist das Vorzeichen dadurch ja irrelevant und ich habe gezeigt, dass man bei Einsetzen von 0 in das charakteristische Polynom die Determinante bekommt, aber ich weiß nicht wie ich weiter fortfahren soll.

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xD na gut, erfreulich, danke für die Antwort!   ─   kurzefrage 07.06.2020 um 01:39
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du bist doch schon fertig du otto :D damit hast du doch gezeigt, dass c_0=detA. dass dann ja |c_0|=|detA| gelten muss, ist doch direkt klar
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Hallo,

noch eine kurze Ergänzung. Für geraden Exponenten gilt

$$ c_0 = (-1)^{2n} \mathrm{det}(A) = \mathrm{det}(A) $$

und für ungeraden

$$ c_0 = (-1)^{2n-1} \mathrm{det}(A) = -\mathrm{det}(A) $$

Um nun diesen beiden Fälle zu vereinen, nutzen wir die Betragsstriche. Dann gilt allgemein

$$ | c_0 | = | (-1)^m \mathrm{det}(A) | = | \mathrm{det}(A) | $$

Grüße Christian

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