Grenzwert einer Cauchyfolge

Aufrufe: 609     Aktiv: 04.06.2020 um 22:32
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Hallo 🍍

Ich versuche gerade zu beweisen, dass für eine Cauchyfolge (x_n) in einem normierten Raum der Grenzwert lim ||x_n|| existiert. Mir fehlt aber noch der Ansatz wie ich anfangen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben?

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Student, Punkte: 86

 
Geht es um eine bestimmte Cauchyfolge? Oder um einen bestimmten Raum, von dem du zeigen sollst, dass er vollständig ist?   ─   digamma 04.06.2020 um 20:35
Nein, die Aufgabe ist da eher allgemein gehalten.   ─   karamellkatze 04.06.2020 um 20:43
Ich sehe gerade, dass ich nicht aufmerksam genug gelesen habe. Es geht nicht um die Konvergenz der Folge von Vektoren, sondern um die der Folge der Normen der Vektoren. Antwort unten.   ─   digamma 04.06.2020 um 21:32
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Aus der umgekehrten Dreiecksungleichung \(\left|\lVert v\|-\|w\rVert\right| \le \lVert v -w\rVert\) müsste folgen, dass die Folge \(r_n = \|x_n\|\) eine Cauchyfolge in \(\mathbb R\) ist. Da \(\mathbb R\) vollständig ist, konvergiert diese.

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
Ich bin verwirrt. Was sind v und w? Und woher kommt die Folge r_n? Ist das eine Teilfolge von x_n? Und wieso darf man annehmen, dass wir in IR sind? Könnten wir uns nicht auch in einem anderen nicht-vollständigen Raum befinden?   ─   karamellkatze 04.06.2020 um 21:41
v und w sind zwei Vektoren. Also genauer: \(\left|\lVert v\|-\|w\rVert\right| \le \lVert v -w\rVert\) gilt für alle \(v, w \in V\), wenn \(V\) der gegebenen normierte Vektorraum ist. Insbesondere gilt sie für die \(x_n\).
Die Bezeichnungen \(r_n\) habe ich eingeführt, um der Zahlenfolge \(\|x_n\|\) einen Namen zu geben und um dabei deutlich zu machen, dass es sich bei den \(\|x_n\|\) um Zahlen und nicht um Vektoren handelt. Die Norm eines Vektors ist ja eine Zahl.
"Und wieso darf man annehmen, dass wir in IR sind?" Die Norm eines Vektors ist immer eine reelle Zahl. Das steht so in der Definition der Norm bzw. des normierten Vektorraums.   ─   digamma 04.06.2020 um 21:43
Oh Moment ich seh gerade, ich hab mich verschrieben. Ich hab geschrieben für die Cauchyfolge ||x_n|| dabei meinte ich (x_n).   ─   karamellkatze 04.06.2020 um 21:46
Und welcher Grenzwert soll existieren? Der der \(x_n\) oder der der \(\|x_n\|\)?   ─   digamma 04.06.2020 um 21:48
Der grenzwert von ||x_n||   ─   karamellkatze 04.06.2020 um 22:00
Also, dann habe ich das schon richtig verstanden. \((x_n)\) ist eine Cauchyfolge im normierten Vektorraum. Aus der umgekehrten Dreiecksungleichung kann man folgern, dass dann auch die reelle Zahlenfolge \((\|x_n\|)\) eine Cauchyfolge ist. Da \(\mathbb R\) vollständig ist, konvergiert diese Folge.   ─   digamma 04.06.2020 um 22:32

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