Ich bin mir nicht sicher, ob du die Summen richtig berechnest. Ich nenne die Summe bis N mal `a_N`, dann erhält man

`N= 0`: `a_0 = ((-1)^0)/(0!) = 1`

`N=1`: `a_1 = ((-1)^0)/(0!) + ((-1)^1)/(1!) = 1 - 1 = 0`

`N=2`: `a_2 = ((-1)^0)/(0!) + ((-1)^1)/(1!) + ((-1)^2)/(2!) = 0 + 1/2 = 1/2`

`N=3`: `a_3 = ((-1)^0)/(0!) + ((-1)^1)/(1!) + ((-1)^2)/(2!) +((-1)^3)/(3!) = 1/2 -1/6 = 1/3`

`N = 4`: `a_4 = a_3 + ((-1)^4)/(4!) = 1/3 + 1/24 = 3/8`

`N = 5`: `a_5 = a_4 + ((-1)^5)/(5!) = 3/8 - 1/120 = 11/30`

`N = 6`: `a_6 = a_5 + ((-1)^6)/(6!) = 11/30 + 1/720 = 53/144`

Fehler `10^(-3)` bedeutet, dass die Differenz zwischen `a_N` und dem Grenzwert kleiner als `10^(-3)` ist. Das Problem ist, dass man das gar nicht direkt berechnen kann, weil man den Grenzwert nicht kennt. Da die Reihe alternierend ist, liegt der Grenzwert aber immer zwischen `a_(N-1)` und `a_(N)`. Also ist der Fehler sicher kleiner als `10^(-3)`, wenn `|a_(N) - a_(N-1)| < 10^(-3)` ist, also wenn `1/(N!) < 10^(-3)` ist, also wenn `N! > 1000` ist. Das ist ab `N = 7` der Fall. Du musst also bis `N = 7` gehen.

versuch mal eventuell  \(|\sum_{n=k}^{\infty} \frac {x^n} {n!}|\) abzuschätzen durch \(\sum_{n=k}^{\infty} \frac {|x^n|} {n!}\) \(=\sum_{n=k}^{\infty} \frac {1} {n!}\)

da du ja etwa weißt wie groß e ist, kannst du dann faktoren vom n! rausziehen und den betrag auf kleiner als \( 10^{-4} \) abschätzen womit du ja fertig wärst.

gibt bestimmt sonst auch eine elegantere möglichkeit mithilfe von banachschem fixpunkt satz