Grenzwert von Folgen

Aufrufe: 194     Aktiv: vor 3 Wochen, 6 Tage

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Es geht um folgende Aufgabe : n^4/3^n. n€N. Die Frage, wie zeige ich dass der Grenzwert =0 ist. 

 

gefragt vor 1 Monat
a
atideva,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 26

 

Es stimmt schon, aber worum es bei dieser Aufgabe bzw. dem Beweis war eine andere Idee.   -   atideva, vor 4 Wochen

Worauf bezieht sich dieser Kommentar?   -   digamma, verified vor 4 Wochen
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2 Antworten
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Wenn du vier mal L'Hospital anwendest, kommst du auf das Ergebnis

\(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^4}{3^n}=0\)

geantwortet vor 1 Monat
h
holly verified
Student, Punkte: 3.02K
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Ich habe heute nun von einem Kommilitonen, der mir mal wohl etwas zu schnell eine Lösung quasi diktiert hat. Die Lösung, die ich eigentlich verstehen wollte und zum guten Schluß von dem selben Kommilitonen nochmals ausführlich erklärt bekam. Es geht um dass Langzeitverhaeltnis der Folgenglieder. Dass ist die Beweis Idee   -   atideva, vor 4 Wochen, 1 Tag

Vielleicht sollte man auch noch ein Wort dazu sagen, warum man die Regeln von L'Hospital hier anwenden kann. Folgen sind ja nicht differenzierbar.   -   peter12345, vor 4 Wochen, 1 Tag

Darüber habe ich mir noch nie Gedanken gemacht, gibt es Grenzwerte, bei denen das problematisch werden könnte, wenn man n als reell betrachtet? Würde Stetigkeit da als Kriterium reichen?
Übrigens mit dem Satz von Stolz, der das Äquivalent bildet, kommt man auf die mathematisch korrekte Lösung.
  -   holly, verified vor 4 Wochen, 1 Tag

Ich vermute, dass man das hier trotzdem elementarer beweisen soll.   -   digamma, verified vor 4 Wochen

Angenommen sie hatten in der Vorlesung, dass Exponentialfunktionen schneller wachsen als jedes Polynom, dann wäre das schon geklärt.   -   holly, verified vor 4 Wochen

Der Gedanke bei dem Beweis ist es, dass Langzeitverhaeltnis zw. den Folgengliedern zu untersuchen. Bei der Folge n^4/3^n, also wie gross ist s'^n+1/an im Verhältnis. Da dass Verhältnis der exponential Funktion von 1/2n+1 zu 1/3offenbar einfach zu errechnen sei ist, ich weiß allerdings nicht wie. Den Beweis hat mir mittlerweile ein Kommiliton zwar erklärt. So ganz begriffen habe ich dass aber noch nicht. Es geht mir jetzt darum, wie auf dieses Verhältnis 1/3 komme   -   atideva, vor 4 Wochen
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Das wenige, das du schreibst, deutet daraufhin, dass man aufeinanderfolgen Folgenglieder vergleicht, indem man `a_(n+1)/a_n` betrachtet. Wenn dieses Verhältnis kleiner ist als eine Zahl `q` zwischen 0 und 1, dann ist `a_n \le a_0 q^n` und geht gegen 0, weil die Folge `q^n` gegen 0 geht.

Betrachten wir also `a_(n+1)/a_n`. Nach Definition gilt

`a_(n+1)/a_n = (n+1)^4/3^(n+1)*3^n/n^4 = ((n+1)/n)^4*3^(n+1)/3^n = (1+1/n)^4 * 1/3`.

Wenn `n` groß genug ist, z.B. `n ge 4`, ist

`a_(n+1)/a_n = (1+1/n)^4 * 1/3 le (1+1/4)^4*1/3 = (5/4)^4 * 1/3 = 625/768 = q < 1`

geantwortet vor 4 Wochen
d
digamma verified
Lehrer/Professor, Punkte: 7.58K
 

Danke für die Antwort. Ich denke das war es. Ich muss mir dass jetzt noch verinnerlichen.   -   atideva, vor 3 Wochen, 6 Tage

Das ist so, wie bei exponentiellem Zerfall. Da geht es auch asymptotisch für immer größere Werte gegen 0   -   derpi-te, verified vor 3 Wochen, 6 Tage
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