Gleichungen

Was sind Gleichungen überhaupt? Das wissen viele gar nicht. Wenn du zwei Haufen mit Steinen hast, auf dem einen liegen 7 Steine und auf dem anderen ebenfalls. Dann würdest du sagen, dass die Haufen gleich sind. 7 = 7. Wären auf dem einen Haufen 8 Steine, würdest du sagen, die Haufen sind nicht gleich.

Behalte das bitte im Hinterkopf: Auf beiden Seiten dieses Gleichheitszeichens "=" steht vom Wert her immer das selbe.

Eine einfache Gleichung, wie x + 2 = 5 können wir daher mit genau diesem Gedanken sehr leicht lösen. Welchen Wert muss x annehmen, damit auf beiden Seiten das Gleiche steht? Ganz klar: 3

Das bekommt man entweder durch kurzes Überlegen heraus oder indem man diese Gleichung umstellt: 

x + 2 = 5     | - 2

x = 3

Diesen Strich | nennen viele den Äquivalenzstrich. Das was hinter ihm steht, wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung an. Würden wir das nur auf einer Seite machen, steht auf beiden Seiten nicht mehr das Gleiche!

Was sich viele Schüler immer merken ist, dass das x alleine stehen soll, also "ziehen" wir die 2 auf die andere Seite. Was tatsächlich passiert ist das:

Wir ziehen 2 von beiden Seiten ab. Solange wir das auf beiden Seiten machen ist alles gut.

x + 2 - 2 = 5 - 2

x = 3

Dieses "Auf die andere Seite ziehen" macht man immer so, dass man die umgekehrte Rechenoperation anwendet.

Plus <-> Minus

Mal <-> Geteilt

Bsp.:

3x - 2 = 5    | + 2 (um die 2 auf die andere Seite zu bekommen)

3x = 3         | : 3 (da steht 3 mal x, also die "Umkehroperation": Geteilt)

x = 1

Bisher ganz gut.

Jetzt kommen Brüche in's Spiel. Das sieht immer kompliziert aus, ist aber nichts anderes als das was wir eben gemacht haben. Erinnerung: Brüche bedeuten einfach nur "Zähler geteilt durch Nenner".

\( \frac{1}{2} \) heißt ich teile die Zahl 1 durch die Zahl 2. Das geht nicht gut auf, deshalb lässt man es in dieser Bruchschreibweise.

Bsp.: \( \frac{x}{3} + 2 = 5 \)      | - 2

zunächst wollen wir wieder 2 auf die andere Seite bekommen. Warum eigentlich? Ich habe mir das früher so gemerkt, dass Strichrechnungen (+ und -) weniger stark an das x gekettet sind, wie Punktrechnungen (mal und geteilt). Aus diesem Grund stelle ich immer zuerst so um, dass irgendwas mit x alleine steht und vielleicht noch mit mal oder wie hier mit geteilt verbunden ist.

\( \frac{x}{3} = 3 \)

Was da eigentlich steht ist: x : 3 = 3 (siehe Erinnerung Brüche) Wir können die 3 also vom x wegbekommen, indem wir wie beim Mal (siehe oben) die Umkehroperation anwenden.

Geteilt -> Mal

also: \( \frac{x}{3} = 3    | \cdot 3 \)

es bleibt übrig: x = 9

Und so funktioniert das immer, egal wie viele Rechenoperationen da sind.

Du hast noch #quadratische Gleichungen angefügt. Was fehlt dir dazu?