Vektor gesucht, welcher mit dem Standardskalarprodukt Linearform erfüllt

Aufrufe: 1100     Aktiv: 10.06.2020 um 23:37
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Moin Moin,

Ich habe schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe:

Zu 1:

Dort habe ich zunächst das Standardskalarprodukt ausgeschrieben und mit der Linearform gleichgesetzt.

Nun komme ich aber schon nicht weiter, da mir keine vernünftige Vorgehensweise einfällt um den Vektor u in Abhängigkeit von v zu bestimmen. Vielleicht habe ich einfach eine Denkblockade. 

Über jede Hilfe bin ich zutiefst Dankbar.

LG Philipp

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Bei 1.: Das ist der Vektor `((1),(3),(-4))`. Wenn man den mit dem Skalarprodukt mit `v = ((x),(y),(z))` multipliziert, erhält man `x + 3y - 4 z`, also `L(v)`.

 

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uff. Danke :D   ─   philipp1887 10.06.2020 um 22:24
Dein Ansatz war im Prinzip richtig. Wenn du `u` also `u = (a, b, c)` ansetzt bekommst du `langle u, v rangle = ax + by + cz`. Durch Vergleich mit der Definition von `L` kommst du auf `a = 1, b = 3, c = -4`   ─   digamma 10.06.2020 um 22:41
Ja. Das habe ich leider nicht sofort gesehen und mich dann darin verloren.
Was hat es bei 2.) mit der Einschränkung auf sich? das ist mir noch nicht klar. Also was bedeutet konkret \(\phi(v) \) ?
Und was heißt es, wenn das Skalarprodukt eingeschränkt ist?
Bisher ist mir nur klar, dass die Vektoren \(w\) und \(v\) so gewählt werden müssen, dass das Skalarprodukt mit \( (3, -2, -5) \) 0 ergibt.
Ist dies "einfach nur" die eine Bedingung, welche zusätzlich an die aus Aufgabenteil 1) gestellt wird? Und falls dem so ist: Wie wähle ich dann den Vektor w, welcher sich orthogonal zu dem eben genannten Vektor befindet?   ─   philipp1887 10.06.2020 um 23:29
Du beschränkst dich auf den Unterraum E. Also musst du alle Abbildungen auf E einschränken. Das Skalarprodukt ist im Prinzip noch immer da gleiche wie vorher, nur dass du nur Vektoren aus E einsetzt. `varphi(v)` ist auch das gleiche wie `L(v)`, nur dass du nur Vektoren aus E einsetzt. Gesucht ist diesmal ein Vektor `w` in E, also kannst du den Vektor `u` von 1.) nicht nehmen. Allerdings muss die Gleichung auch nur für Vektoren aus E gelten.
Ich weiß nicht, wie ich einen guten Tipp geben soll, deshalb im Prinzip die Antwort: Du musst den Vektor nehmen, den du erhältst, wenn du `u` orthogonal auf E projizierst.   ─   digamma 10.06.2020 um 23:37

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