Herangehensweise für einen Beweis

Aufrufe: 644     Aktiv: 13.06.2020 um 12:01
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Ich brauche Hilfe bei der obenstehenden Aufgabe. 

Wenn ich mir das Problem mit Einheitsvektoren, die nur in einer Koordinate eine "1" "haben" veranschauliche, verstehe ich, weshalb dies die Beziehung erfüllt. Für den obenstehenden Fall fehlt mir die Herangehensweise für den Beweis. Ich weiß, dass \( u_1, ... , u_n \) orthogonal sind. Warum die Beziehung gilt kann ich nur nicht ergründen.

Für jede Hilfe bin ich dankbar.

LG

Philipp

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Da die \(u_i\) eine Basis bilden, gibt es zu \(v\) eindeutige \(\lambda_1, \ldots,\lambda_n\) mit

\(v = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i u_i\)

Zu zeigen ist dann: \(\lambda_i=<v,u_i>\). Für alle \(j\) gilt dann:

\(<v,u_j> = <\sum...., u_j> =  \sum <\lambda_iu_i,u_j> =.... = \lambda_j\)

Man benutzt dabei die Linearität des Skalarprodukts und \(<u_i,u_j>= 1\) bzw. \(=0\)..

 

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