Partikuläre Lösung von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung

Aufrufe: 786     Aktiv: 20.06.2020 um 15:28
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Moin, ich soll von \[y′− 3y = xe^{4x} , y(0) = 1\]  und

\[x · y′− y = x^2 + 4 , y(1) = −2\]

 

die Allgmeine wie die partikuläre Lösung berechnen.

für die erste bin ich bis : \[-3/2y^2+y=e^{4x}*(1/4*x-1/16)+c\]

gekommen, tu mich aber verdammt schwer damit das nach y umzuformen grade. habe bestimmt irgendwo einen denkfehler drin.

Wenn mir jemand beim Umstellen helfen könnte wäre mir schon seeehr geholfen :D

Danke schonmal im vorraus

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Das sind beides lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung. dafür gibt es eine geschlossene Lösungsformel. Da die erste auch noch konstante Koeffizienten hat, kannst Du dafür mit dem Ansatz \(y_h = ew^{\lambda t} \) erst die homogene Gleichung lösen, was \(y_h = e^{3x} \) liefert. Für die partikuläre versuche den Ansatz \(y_p= (b_0 +b_1x) e^{4x} \)Zu linearen Differenzialgleichungen habe ich eine Videoserie auf youTube. Weitere Videos folgen in der nächsten Zeit. Schau doch einmal rein!

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Also bei der ersten DGL ist die Störfunktion \(xe^{4x}\)

Nun kann man durch knobeln oder in Tabellen herausfinden, dass die partikuläre Lösung von der Form \(axe^{4x}+be^{4x}\) sein muss.

Durch einsetzen solltest du auf die partikuläre Lösung kommen. Tabellen findest du hier und hier.

Bei der zweiten kann man einfach alles durch \(x^2\) teilen:

\(\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x^2}y=\frac{x^2+4}{x^2}\)

das ist nun von der Form:

\((\frac{y}{x})'=\frac{x^2+4}{x^2}\)

beide Seiten nach x integriert ergibt die Lösung.

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