Wenn man annimmt, dass es reelle Zahlen \(a,b\in\mathbb{R}\) gibt, welche diese Ungleichung nicht erfüllen, kann man dies leicht mit dem Mittelwertsatz zu einem Widerspruch führen. Siehe auch das Video zum Mittelwertsatz.

Angenommen, es gibt \(a,b\in\mathbb{R}\)mit

\(|\sin(b)-\sin(a)|>|b-a|\)

Sei dabei OBdA \(b>a\). Dann teitl man auf beiden Seiten durch \(|b-a|\) und erhält

\(\frac{|\sin(b)-\sin(a)|}{|b-a|}>1\)

Nach dem Mittelwertsatz gibt es in dem Intervall \([a,b]\) eine Zahl \(c\), so dass

\(\sin'(c)= \frac{|\sin(b)-\sin(a)|}{|b-a|}>1\)

ist. Allerings ist \(\sin'(x)=\cos(x)\leq 1\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) - ein Widerspruch.

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