Gleichungssystem

Aufrufe: 660     Aktiv: 25.06.2020 um 21:37
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Hallo, 

habe folgendes Gleichungssystem mit \(a, b \in \mathbb{R}\)

\(\begin{pmatrix}ax &2y&2z&&0\\2x&y&2z&&-1\\ 2x&2y&az&&b\end{pmatrix}\)

Ich soll \(b\) bestimmten, sodass für alle \(a \in \mathbb{R} \setminus \{2\}\) das Gleichungssystem lösbar ist.

 

Hab hier keinen Ansatz, wie ich das berechnen soll. 

Ich hab die Determinante berechnet \(a=12/7\). Weiß jetzt aber nicht, ob das hilft. 

 

Lgs
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Student, Punkte: 96

 
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Hallo, wenn du die Gauß-Elimination durchführst, dann kommst du auf folgendes Ergebnis.

\(\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{2(a+b-2)}{a-2}\\0&1&0&\frac{-a-2b-2}{a-6}\\0&0&1&\frac{2a-4b+ab-4}{(a-2)(a-6)}\end{pmatrix}\)

Hierbei muss man beachten, dass man nicht durch 0 teilen darf.

Das ist aber für \(a=2\) und \(a=6\) der Fall. Da der erste Fall ausgeschlossen ist, müssen wir dafür sorgen, dass sich der zweite Fall herauskürzt. Das ist für \(-a-2b-2=a-6\) gegeben.

Wenn man \(a=6\) einsetzt, erhält man \(b=-4\).

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Student, Punkte: 4.59K

 
Was hast du für \(a\) und \(b\) eingesetzt?   ─   mathematikmachtspaß 22.06.2020 um 18:17
habe die Antwort angepasst. Für a habe ich 6 eingesetzt, für b nichts.   ─   holly 22.06.2020 um 20:31
Bekomm beim Gaußverfahren schon etwas ganz anderes heraus. Reicht es nicht schon, wenn man den unteren linken Teil der Matrix 0 setzt?

   ─   mathematikmachtspaß 22.06.2020 um 21:35
ich verstehe nicht genau, was du mit unterer linker teil meinst. Und was bekommst du für die Gauß-Elimination heraus?   ─   holly 23.06.2020 um 19:43
Ich bekomme:
\(\left(\begin{matrix}2 & 1 & 2 & -1 \\0 & 1 & a-2 & b+1 \\0 & 0 & \frac{a^2-8*a+12}{2} & \frac{2*a+a*b-4*b-4}{2}\end{matrix}\right)\)
   ─   mathematikmachtspaß 23.06.2020 um 20:22

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Was meinst du mit "die Determinante \(a=\frac{12}7\)"?

Ich würde das LGS lösen - die Lösungen für \(x, y,\) und \(z\) hängen dann von \(a\) und \(b\) ab. Dann kann man \(b\) so wählen, dass die Bedingung für \(a\) erfüllt ist. Weißt du, wie ich das meine?

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Lehrer/Professor, Punkte: 1.29K

 
Wie kann ich das LGS lösen, wenn ich für \(a\) und \(b\) keine Werte habe?
   ─   mathematikmachtspaß 22.06.2020 um 18:16
Die Lösungen für \(x, y, z\) sind:

\(z = \frac{2a+ab-4b-4}{a^2-8a+12} \\ y = \frac{-a-2b-2}{a-6} \\ x = \frac{2a+2b-4}{a^2-8a+12}\)

Wie kann/soll ich dann hier b wählen?

  ─   mathematikmachtspaß 25.06.2020 um 21:36

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