Wir bestimmen zunächst den Kern. Es gilt \( \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \in Kern(\delta) \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x - y \\ y - x \\ x \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), also \( Kern(\delta) = \{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \} \). Damit ist \( \emptyset \) Basis des Kerns und es gilt \( \dim Kern(\delta) = 0 \).

Nach der Dimensionsformel muss nun \( \dim Bild(\delta) = \dim \mathbb{R}^2 - \dim Kern(\delta) = 2-0= 2\) sein. Die Vektoren \( \delta \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \delta \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) liegen offensichtlich in \(Bild(\delta) \) und sind linear unabhängig, also bilden sie aus Dimensionsgründen eine Basis von \(Bild(\delta)\).