Umkehrsatz (Analysis II)

Aufrufe: 655     Aktiv: 23.06.2020 um 18:22
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Betrachten Sie die kubische Gleichung

0 = X³ − b_1 X²+ b_2X − b_3 = (X − a_1)(X − a_2)(X − a_3), wobei fur das Koeffiziententripel (b1, b2, b3) ∈ R³ und das Lösungstripel (a1, a2, a3) ∈ R³ gelte: a1, a2 und a3 sind paarweise verschieden.

Zeigen Sie, dass die Lösungstripel (x1, x2, x3) aus einer Umgebung von (a1, a2, a3) bijektiv und stetig differenzierbar von den Koeffiziententripeln (y1, y2, y3) aus einer Umgebung von (b1, b2, b3) ∈ R³ abhängen.

Kann mir jemand sagen, wie ich hier anfangen muss und wo ich den Umkehrsatz anwenden kann? 

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Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich ergibt \( a_1 + a_2 + a_3 = b_1 \) und \( a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3 = b_2 \) und \( a_1a_2a_3 = b_1 \). Betrachte nun die Funktion \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) mit \( f(x_1,x_2,x_3) = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + x_3 \\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 \\ x_1x_2x_3 \end{pmatrix} \) und wende an der Stelle \( (a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^3 \) den Satz von der Umkehrabbildung an.

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