Gleichmäßige Konvergenz von x^(1/n)

Aufrufe: 50     Aktiv: vor 3 Wochen

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Hallo

Ich soll untersuchen ob die Funktionenfolge x^(1/n) punktweise oder sogar gleichmäßig konvergent ist.

Der Definitionsbereich soll (0,1) als Teilmenge der reellen Zahlen sein.

Wie genau gehe ich hier vor und kann mir jemand einfach mal genau erklären was das bedeutet?

 

gefragt vor 3 Wochen
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felixw,
Punkte: 10

 
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2 Antworten
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Du kannst die Konvergenz  ja in einer punktierten Umgebung (Epsilon-Umgebung) nachweisen. Dies machst du mit dem epsilon-delta Kriterium für Konvergenz.

 

Wenn du zeigen willst, dass eine Folge konvergent ist guckst du zuerst ob jene beschränkt ist und prüfst noch den Definitionsbereich auf auffälligkeiten. Als nächstes schaust du ob sich der Grenzwert(limes) der Funktion bilden lässt. Dieser ist immer eine reele Zahl (z.B.: a = 1). Wenn a also der Grenzwert der Folge existiert, so konvergiert diese Folge.

Um verschiedene Methoden der Konvergensbestimmung anzuschneiden kann ich verraten, dass es noch das Monotoniekriterium, Quotiententkriterium usw zu bestimmung von Konvergenz gibt, die aber erst bei Reihen eine wichtgere Rolle spielen werden...

Hoffe ich konnte dir deine Frage verständlich beantworten

 

LG

geantwortet vor 3 Wochen
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mathsboy
Student, Punkte: 125
 

Ok ja das habe ich verstanden. Ich habe geprüft ob meine Funktionenfolge punktweise konvergiert. das tut sie ja denn für n gegen unendlich wird dieser term einfach 1. das heist der grenzwert existiert. aber ist dieser ausdruck auch gleichmäßig konvergent???
  -   felixw, vor 3 Wochen

Das könntest du jetzt mir dem Cauchykriterium für gleichmäßige Folgen prüfen ;) → https://mathepedia.de/Gleichmaeszige_Konvergenz.html   -   mathsboy, vor 3 Wochen
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Ich habe dazu ein paar Videos am Start - sogar genau diese Funktionenfolge betrachtend.

geantwortet vor 3 Wochen
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 1.08K
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