Wohldefinierte Abbildung und weiteres

Aufrufe: 58     Aktiv: vor 2 Wochen, 6 Tage

0

Hallo an alle,

ich habe Schwierigkeiten bei der folgenden Aufgabe:

Was ist gefragt, wenn ich zeigen soll, dass eine Abbildung wohldefiniert ist? Und was sind dann die funktionalen Ausdrücke?

Zu den letzten drei Fragen: 

\(f \text{ diffbar}\) : Das habe ich noch nicht zeigen können. Da fehlt mir der richtige Ansatz.

\(f \text{ injektiv}\) : Wenn ich mir das vorstelle, stimmt das wohl. Aber auch hier fehlt mir der richtige Beweis. Ich glaube aber, dass dieser nicht besonders lang ist.

\(f \text{ surjektiv}\) : Hier bin ich mir nicht sicher. Soweit ich das sehe, ist der Punkt (0, -1) Teil von \(S^1\) Aber für diesen Punkt haben wir ja kein Element aus IR (nach der Definition, dass Schnittpunkt \(\neq (0, -1)\)), sodass wir auf das Element abbilden können.

 

Ich freue mich über jede Hilfe

LG

 

gefragt vor 3 Wochen
p
philipp1887,
Student, Punkte: 47

 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
1

"Wohldefiniert" heißt, dass es zu jedem \(t \in R\) genau einen solchen Schnittpunkt gibt, der dann eben \(f(t)\) genannt wird. Das erste, was zu tun ist, ist also \(f\) konkret auszurechnen (Schnittpunkt Gerade mit Kreis), dabei merkt man ja, ob es wohldefiniert ist. Und die anderen Punkte der Aufgabe sind auch viel einfacher, wenn man das \( f(t)\) hat. Also, rechne das mal aus und schau wie weit Du kommst. Ggf. hier nochmal nachfragen.

geantwortet vor 2 Wochen, 6 Tage
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 2.28K
 

Bei der Bestimmung des Schnittpunkts komme ich nicht weiter. Ich habe die Gerade einmal als Geradengleichung mit Steigung+Achsenabschnitt definiert und einmal als Vektor \( (s*t,2s-1) \). In beiden Fällen schaffe ich es nicht eine vernünftige bzw. nachvollziehbare Funktion zu generieren. (den Faktor s habe ich schon durch den euklidischen Abstand von \((0,-1)\) zu \((t,1)\) ausgedrückt). Die Komponenten habe ich gemäß der Formel des Einheitskreises verwertet. Habe schon viel rumprobiert und verliere mich gerade in dem Ganzen.
Kannst du oder jemand anderes mir einen Tipp geben, wie ich den Schnittpunkt bestimmt durch t bestimmen kann? Oder besser (ich muss verstehen, nur die Lösung bringt mir nichts): wie stelle ich die für diesen Fall korrekte Geradengleichung auf, damit ich den Schnittpunkt bestimmen kann?
  -   philipp1887, vor 2 Wochen, 6 Tage

Du hast die Geradengleichung in Punkt-Richtung-Form aufgestellt, sehr schön:
\( g: \begin{pmatrix} \lambda \, t\\ -1 +2\lambda\end{pmatrix}\)
(Ich schreibe lieber \(\lambda\) anstelle Deines \(s\), finde ich klarer). Damit ein Punkt aus \(g\) auf \(S^1\) liegt, muss gelten \(x^2+y^2=1\), also setzen wir die Daten von \(g\) hier ein, also \(x = \lambda\, t, y=-1+2\lambda\). Dann umstellen nach \(\lambda\), das gefundene \(\lambda\) in \(g\) einsetzen ergibt den gesuchten Punkt:
\( f(t) = \begin{pmatrix} \frac{4\, t}{t^2+4}\\ -1+\frac8{t^2+4} \end{pmatrix} \)
Ich finde es gut, dass Du Dir diese Bestimmung des Schnittpunkts nochmal genau anschauen möchtest. Das Hantieren mit Koordinatendarstellung und Parameterdarstellung und geschicktes Auswählen, was wo am besten passt, ist eine reine Übungssache und stellt das Handwerkszeug in der Lin Alg dar.
Bem: Wenn Du die Gerade in der Form y=a x+b aufstellst und einsetzt, sollte das gleiche rauskommen.
  -   mikn, vor 2 Wochen, 6 Tage

Super. Vielen Dank. Ich habe nicht daran gedacht, dass \(\lambda\) vernünftig zu verwerten.
Einige Herangehensweisen habe ich aus der Schulzeit schon wieder vergessen.
Jetzt ergibt das alles auch einen Sinn. Nochmals vielen Dank!
  -   philipp1887, vor 2 Wochen, 6 Tage
Kommentar schreiben Diese Antwort melden