Analyse mehrdimensionaler Funktion (R^2 -> R^3: Injektivität, Surjektivität, Graph)

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Folgende Funktion ist gegeben, \( \mathbb R^2 \Rightarrow \mathbb R^3 \):

 

\( h(x,y)=\begin{pmatrix} sin(\pi*x)cos^2(\pi*y) \\ x^2*y^{-2}*e^{y^2-1} \\ log(x^2) \end{pmatrix} \)

 

Es geht darum, zu beantworten, ob diese Funktion surjektiv oder injektiv ist (oder beides). Man muss es nicht beweisen, sondern nur die richtige Antwort ankreuzen. Muss natürlich trotzdem irgendwie draufkommen und meine Annahme wäre: weder noch. Injektiv dadurch nicht, dass aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen in der ersten Komponentenfunktion verschiedene x denselben y-Wert haben. Surjektiv dadurch nicht, dass einige negative Werte in \(\mathbb R^3 \) nie angenommen werden (gedacht jetzt in \(\mathbb R^2\): log nimmt unendlich kleine negative y an, e unendlich kleine negative x, aber es werden nicht beide gleichzeitig negativ, da unterschiedliche Asymptoten). 

Das wäre jedenfalls meine Vermutung. Hält die so stand? Oder muss ich sowas ganz anders denken?

Eine weitere Frage war dann die, ob der Graph der Funktion h dreidimensional sei. Ich meine nein: Die Dimension des Graphen setzt sich ja zusammen aus der Dimension der Definitionsmenge und der Wertemenge, oder? Also 2+3=5?

Danke schon mal!

 

gefragt vor 1 Woche, 5 Tage
m
mrclndr,
Student, Punkte: 4

 
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1 Antwort
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Deine Gedanken sind absolut richtig.

Den Graph zeichnet man in ein Koordinatensystem mit 5 Koordinaten - also könnte man sagen, dass der Graph in einem 5-dimensionalen Raum zu verzeichnen ist.

geantwortet vor 1 Woche, 5 Tage
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 930
 

Super; schön, wenn man langsam beginnt, die Dinge abseits von Schema F einigermaßen zu verstehen :-) Danke für deine Antwort!   -   mrclndr, vor 1 Woche, 5 Tage
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