Totale Differenzierbarkeit

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Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage bezüglich der totalen Differenzierbarkeit.

Kann mir jemand an meinem Beispiel erklären, wie ich eine Funktion auf totale Diffbarkeit überprüfe?

\(f(x,y) = 10x-2y+ \frac{x^3} {\sqrt{x^2+y^2}} für (x,y) \neq (0,0) und f(0,0) = 0 \)

 

gefragt vor 2 Wochen, 5 Tage
j

 
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1 Antwort
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Wenn an einer Stelle die partiellen Ableitungen von f existieren und dort stetig sind, ist f dort auch total differenzierbar. Damit sind schon alle Fälle außer (0,0) geklärt.

Für totale Differenzierbarkeit in (x,y) muss gelten:

\( \frac{f(x+h_1,y+h_2) - f(x,y) - \nabla f(x,y)\cdot (h_1,h_2)^T}{\| (h_1,h_2)\|} \longrightarrow 0\) für \((h_1,h_2) \longrightarrow (0,0)\)

Hier interessiert uns \((x,y)=(0,0)\). Das würde ich mal einsetzen und alles ausrechnen/zusammenfassen und schauen, ob man was über den Grenzwert sagen kann.

geantwortet vor 2 Wochen, 5 Tage
m
mikn
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