Wenn an einer Stelle die partiellen Ableitungen von f existieren und dort stetig sind, ist f dort auch total differenzierbar. Damit sind schon alle Fälle außer (0,0) geklärt.

Für totale Differenzierbarkeit in (x,y) muss gelten:

\( \frac{f(x+h_1,y+h_2) - f(x,y) - \nabla f(x,y)\cdot (h_1,h_2)^T}{\| (h_1,h_2)\|} \longrightarrow 0\) für \((h_1,h_2) \longrightarrow (0,0)\)

Hier interessiert uns \((x,y)=(0,0)\). Das würde ich mal einsetzen und alles ausrechnen/zusammenfassen und schauen, ob man was über den Grenzwert sagen kann.