Abzälbar, höchstens abzählbar zeigen

Aufrufe: 74     Aktiv: vor 1 Woche, 2 Tage

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Ich habe Schwierigkeiten zu zeigen , dass die Menge A höchstens abzählbar ist. Vllt kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen. Was abzählbar und überabzählbar bedeutet ist mir klar nur weiß ich nicht wie ich das formal zeigen soll.

Aufgabe:

 

gefragt vor 1 Woche, 4 Tage
f
freakbob999,
Punkte: 20

 
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2 Antworten
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Du hast durch die Definition der Folge schon eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die Menge der Folgenglieder. Damit du nicht doppelt zählst musst du dir eine injektive Teilfolge basteln.

geantwortet vor 1 Woche, 4 Tage
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 930
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Wäre denn z.B. die Folge die nur aus den geraden natürlichen Zahlen besteht eine mögliche Teilfolge? Und wie zeige ich dann, dass sie höchstens abzählbar ist?   -   freakbob999, vor 1 Woche, 4 Tage

Könntest du mir noch weiterhelfen? Habe noch nicht ganz verstanden worauf du hinaus willst.   -   freakbob999, vor 1 Woche, 4 Tage

Du könntest eine Teilfolge über folgende Indexfolge \((i)_{n\in\mathbb{N}}\) definieren. Dazu setzt du

\(i_n = m\), falls \(m = \min\{m\in \mathbb{N}: |\left\{a_0,\ldots,a_m\right\}| = n+1\}\)

Diese Teilfolge übspringt Folgenglieder, die sich wiederholen. Falls diese Folge existiert (das Minimum muss es nicht zwangsläufig geben - man stelle sich eine Folge vor, die Konstant \(1\) ist)

Diese Teilfolge zählt dir deine Menge der Folgenglieder.
  -   mathe.study, vor 1 Woche, 4 Tage

das ist doch gar nicht nötig, es reicht die Funktion \(f: A \mapsto \mathbb{N}\) mit \(x_n \mapsto n \), da Mengen per Definition keine doppelten Elemente enthalten. Die Funktion ist offensichtlich injektiv, also ist die Kardinalität von \(A\) durch die Kardinalität von \(\mathbb N\) beschränkt.   -   chrispy, vor 1 Woche, 4 Tage

Verstehe ich nicht? Ich dachte man braucht eine Abbildung von \(\mathbb{N}\) in die Menge der Folgenglieder.

Aber tatsächlich hatte ich überlesen: Da steht "höchstens abzählbar" - das heißt, die Abbildung muss nicht einmal injektiv sein - vergesst meinen Kommentar oben. Der Folgenindex liefert die gesuchte Abbildung

\(n\mapsto a_n\)

Mit meinem Kommentar beweist man, falls diese Teilfolge existiert, dass die Menge sogar abzählbar unendlich ist.
  -   mathe.study, vor 1 Woche, 4 Tage

Ich würde sagen, man braucht eine Injektion von der Menge \(A\) nach \( \mathbb N\)   -   chrispy, vor 1 Woche, 4 Tage

mathe.study hat völlig recht. Höchstens abzählbar heißt abzählbar oder endlich. Für abzählbar braucht man injektiv, für höchstens abzählbar nicht, denn es könnten ja nur weniger als abzählbar werden.
@chrispy: Die Abb. \(f: A \longrightarrow \mathbb{N}\) mit \(x_n \mapsto n\) ist gar nicht wohldefiniert, eben weil ja in \(A\) die mehrfach auftretenden Folgenglieder zusammenfallen.
  -   mikn, vor 1 Woche, 3 Tage

Bei der Wohldefiniertheit bin ich bei dir. Aber was meinst du mit "es könnten ja nur weniger als abzählbar werden?"   -   chrispy, vor 1 Woche, 2 Tage

Bei der Abzahlung \(n \mapsto x_n\) zählt man ja evtl einige Elemente von A mehrfach ab, daher kann A nur abzählbar sein oder weniger als abzählbar, also "höchstens abzählbar".   -   mikn, vor 1 Woche, 2 Tage
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Übrigens muss deine Folge nicht 0,1 Folgen sein ,da 0,1 Folgen überabzählbar ist

geantwortet vor 1 Woche, 4 Tage
d
demirdag
Student, Punkte: 68
 

was meinst du damit?
  -   chrispy, vor 1 Woche, 4 Tage
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