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Du hast durch die Definition der Folge schon eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die Menge der Folgenglieder. Damit du nicht doppelt zählst musst du dir eine injektive Teilfolge basteln.
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mathe.study
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Wäre denn z.B. die Folge die nur aus den geraden natürlichen Zahlen besteht eine mögliche Teilfolge? Und wie zeige ich dann, dass sie höchstens abzählbar ist?
─
freakbob999
25.06.2020 um 11:00
Könntest du mir noch weiterhelfen? Habe noch nicht ganz verstanden worauf du hinaus willst.
─
freakbob999
25.06.2020 um 13:48
Du könntest eine Teilfolge über folgende Indexfolge \((i)_{n\in\mathbb{N}}\) definieren. Dazu setzt du
\(i_n = m\), falls \(m = \min\{m\in \mathbb{N}: |\left\{a_0,\ldots,a_m\right\}| = n+1\}\)
Diese Teilfolge übspringt Folgenglieder, die sich wiederholen. Falls diese Folge existiert (das Minimum muss es nicht zwangsläufig geben - man stelle sich eine Folge vor, die Konstant \(1\) ist)
Diese Teilfolge zählt dir deine Menge der Folgenglieder. ─ mathe.study 25.06.2020 um 14:03
\(i_n = m\), falls \(m = \min\{m\in \mathbb{N}: |\left\{a_0,\ldots,a_m\right\}| = n+1\}\)
Diese Teilfolge übspringt Folgenglieder, die sich wiederholen. Falls diese Folge existiert (das Minimum muss es nicht zwangsläufig geben - man stelle sich eine Folge vor, die Konstant \(1\) ist)
Diese Teilfolge zählt dir deine Menge der Folgenglieder. ─ mathe.study 25.06.2020 um 14:03
das ist doch gar nicht nötig, es reicht die Funktion \(f: A \mapsto \mathbb{N}\) mit \(x_n \mapsto n \), da Mengen per Definition keine doppelten Elemente enthalten. Die Funktion ist offensichtlich injektiv, also ist die Kardinalität von \(A\) durch die Kardinalität von \(\mathbb N\) beschränkt.
─
chrispy
25.06.2020 um 14:05
Verstehe ich nicht? Ich dachte man braucht eine Abbildung von \(\mathbb{N}\) in die Menge der Folgenglieder.
Aber tatsächlich hatte ich überlesen: Da steht "höchstens abzählbar" - das heißt, die Abbildung muss nicht einmal injektiv sein - vergesst meinen Kommentar oben. Der Folgenindex liefert die gesuchte Abbildung
\(n\mapsto a_n\)
Mit meinem Kommentar beweist man, falls diese Teilfolge existiert, dass die Menge sogar abzählbar unendlich ist. ─ mathe.study 25.06.2020 um 14:09
Aber tatsächlich hatte ich überlesen: Da steht "höchstens abzählbar" - das heißt, die Abbildung muss nicht einmal injektiv sein - vergesst meinen Kommentar oben. Der Folgenindex liefert die gesuchte Abbildung
\(n\mapsto a_n\)
Mit meinem Kommentar beweist man, falls diese Teilfolge existiert, dass die Menge sogar abzählbar unendlich ist. ─ mathe.study 25.06.2020 um 14:09
Ich würde sagen, man braucht eine Injektion von der Menge \(A\) nach \( \mathbb N\)
─
chrispy
26.06.2020 um 09:32
Bei der Wohldefiniertheit bin ich bei dir. Aber was meinst du mit "es könnten ja nur weniger als abzählbar werden?"
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chrispy
27.06.2020 um 11:53
