Menge aller Folgen von komplexen Zahlen (Vektorraum)

Aufrufe: 73     Aktiv: vor 2 Wochen, 2 Tage

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Hallo, 

habe folgende Aufgabe: 

\(a_0, a_1...a_k \in \mathbb{C}, \text{mit } k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\)

 

\(S\) die Menge aller Folgen \((x_n)n\geqq1\) von komplexen Zahlen, die für alle \(n \in \mathbb{N}\) der Gleichung \(a_kx_{n+k}+a_{k-1}x_{n+k-1}+..+a_0x_n = 0\) genügen.

Ich soll beweisen, dass \(S \) mit den Operationen, elementweise Addition und Skalarmultiplikation, einen \(\mathbb{C}\)-Vektorraum bildet.

Keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll...

 

 

gefragt vor 2 Wochen, 3 Tage
m
mathematikmachtspaß,
Student, Punkte: 96

 
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1 Antwort
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Beim Zeigen von Vektorraumeigenschaften heißt es immer, die Rechenregeln für VR nachzuprüfen. Interessant ist hier (u.a.), dass aus \((x_n), (y_n)\in S\) folgen muss, dass auch \((x_n) +(y_n)\in S\) gilt Dazu schreibt man hin, was \((x_n)\in S\) bedeutet, auch für \((y_n)\).

Wichtige Erkenntnis: Was soll man auch sonst machen, man hat nichts anderes!

Am besten die Bedingungen untereinander schreiben....

geantwortet vor 2 Wochen, 3 Tage
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 2.28K
 

Wenn ich jetzt z.B. die 1. Rechenregel \((0v = 0\forall v \in V)\) zeigen will, wie mach ich das hier?
  -   mathematikmachtspaß, vor 2 Wochen, 3 Tage

elementweise Addition und Skalarmultiplikation ist unkritisch, da drücken sich die Rechenregeln aus C durch auf diese Folgen in S.
Konkret: 0*(x_n) ausrechnen, und prüfen, ob das Ergebnis in S liegt.
  -   mikn, vor 2 Wochen, 3 Tage

Wäre das so richtig: \(0_{xn} = (0+0)_{xn} = 0_{xn}+0_{xn}\)
Wenn ja, wie prüf ich jetzt, ob das Ergebnis in S liegt?
  -   mathematikmachtspaß, vor 2 Wochen, 2 Tage

0*(x_n) = 0*(x_1, x_2,...) =. ..elementweise
Und nachprüfen, ob in S, natürlich indem man die Bedingung dafür prüft.
  -   mikn, vor 2 Wochen, 2 Tage

\(0_[xn} = 0_{x1, x2, x3...xn} = 0_{x1}+0_{x2}...+0_{xn}\) und die Bedingung ist \((x_n)n \geqq 1 \), die somit gegeben wäre?
Verstehs nicht wirklich..
  -   mathematikmachtspaß, vor 2 Wochen, 2 Tage

Die Objekte in S sind Folgen. Folgen notiert man als \((x_n)= x_1, x_2, \ldots\)- Wenn man zwei Folgen addiert, gibt das wieder eine Folge da elementweise (lt Aufgabenstellung!) addiert wird. Ebenso bei der Skalarmultiplikation. Wenn Dir das klar ist, geht der Rest einfach.   -   mikn, vor 2 Wochen, 2 Tage
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