Grenzwert mit Fakultät im Nenner berechnen

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Guten Morgen allerseits,

ein Kommulitone und ich beißen uns zur Zeit die Zähne an folgender Aufgabe aus:

\( \lim_{n \to \infty} \frac {(2n)^{2n}} {(4n)!} \)

Mein Ansatz (bin mir aber teils nicht sicher ob das zu 100% korrekt ist): 

Anmerkung: L'Hospital darf hier nicht verwendet werden.

Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen!

 

gefragt vor 1 Woche, 2 Tage
davido,
Student, Punkte: 29

 

Die l'Hospitalsche Regel kann überhaupt nicht auf Folgen angewandt werden. Sie nutzt Ableitungen und wird bei der Grenzwertbildung von Funktionen benutzt. Siehe mein Video Taylorsche Reihen (2).   -   professorrs, verified vor 1 Woche, 1 Tag
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1 Antwort
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Euch hilft sicherlich die Stirling-Formel:

 

geantwortet vor 1 Woche, 1 Tag
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 930
 

Danke für diesen Ansatz. Leider habe ich von dieser Formel noch nie was gehört (auch nicht im Kontext der Vorlesung. Demnach gehe ich auch davon aus, dass dieses Wissen nicht als bekannt vorausgesetzt wird bei uns :-/   -   davido, vor 1 Woche, 1 Tag

Dann kriegen wir das auch elementar hin.

Es gilt \((4n)!= 4n \cdot (4n-1)\cdot (4n-2)\cdots 2n \cdot (2n-1)\cdot (2n-2) \cdots 1 \geq (2n)^{2n}\cdot n\cdot (2n-1)\cdot (2n-2) \cdots 1\geq (2n)^{2n}\cdot n\)

Dabei sind die "ersten 2n" Faktoren abgeschätzt worden durch \(2n\).

Damit kann man argumentieren, denke ich.
  -   mathe.study, vor 1 Woche, 1 Tag
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