Punktweise Konvergenz

Aufrufe: 65     Aktiv: vor 1 Woche, 3 Tage

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Hello!

Ich hab ungefähr so bewiesen,nur weiß ich nicht warum lim fn(x) gleich 0 ist(wo ich mit rot geschrieben habe)

kann jemand vllt mir helfen?

vielen dank!

 

gefragt vor 1 Woche, 5 Tage
j
jane14,
Student, Punkte: 26

 
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2 Antworten
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Diese Funktion ist prädestiniert, den unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz aufzuzeigen. Sie ähnelt der Funktion aus meinen Videos - da findest du ausführliche Beweise - vielleicht kannst du sie leicht auf deine Funktion übertragen?

geantwortet vor 1 Woche, 5 Tage
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 960
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Danke dir!kannst du mir vllt bei dem Beweis von punktweise Konvergenz helfen?(hab meine Lösung hinzugefügt)   -   jane14, vor 1 Woche, 3 Tage
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Hi, das sieht wirklich sehr gut aus! Zu der rot markierten Stelle:

Es ist zu zeigen, dass für \(0<x<1\) gilt

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} nx(1-x^2)^n=0\)

Das kann man sicherlich elementar über die \(\varepsilon\)-Bedingung zeigen. Hier ein alternatives Argument.

Zunächst beobachten wir, dass für jedes \(x\) mit \(0<x<1\) gilt \(0<1-x^2<1\). Setze \(s=1-x^2\). Dann ist

\(nx(1-x^2)^n= s^{\log_sn}\cdot x\cdot s^n=x\cdot s^{n+\log_sn} \leq s^{n+\log_sn}\).

Es gibt für jedes \(s\) mit \(0<s<1\) ein \(N_s\in\mathbb{N}\), so dass \(0\leq\log_s n\leq n\) für alle \(n\geq N_s\). Damit berechnen wir die Reihe

\(\displaystyle0\leq\sum_{n=0}^\infty nx(1-x^2)^n\leq \sum_{n=0}^\infty s^{n+\log_sn} =\sum_{n=0}^{N_s-1}s^{n+\log_sn} +\sum_{n=N_s}^{\infty}s^{2n} \leq S + \sum_{n=0}^{\infty}\left(s^{2}\right)^n = S',  \)

wobei \(S\) eine reelle Zahl ist und \(S'\) der Grenzwert der Geometrischen Reihe. Da die Partialsummenfolge der Reihe \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nx(1-x^2)^n\) monoton steigend ist (die Summanden sind positiv) und beschränkt ist konvergiert sie. Die Summandenfolge einer konvergenten Reihe konvergiert gegen \(0\).

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 960
 

Vielen Dank!!ich hab gut verstanden!!   -   jane14, vor 1 Woche, 3 Tage

Super :-) Das freut mich. Vielleicht möchtest du meinen Kanal auf Youtube abonnieren - das würde mir helfen :-)   -   mathe.study, vor 1 Woche, 3 Tage

Mache ich gerne!   -   jane14, vor 1 Woche, 3 Tage

Danke :-)   -   mathe.study, vor 1 Woche, 3 Tage
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