Vereinfachen von Ausdrücken

Aufrufe: 828     Aktiv: 28.06.2020 um 15:49
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Hallo liebe Community. Hier wiedereinmal eine algebraische Grundlagenfrage: Es geht darum folgenden Ausdruck zu vereinfachen: \( \frac {x-1}{x+1} - \frac {1-x}{x-1} - \frac {-1+4x}{2(x+1)} \) so nun folgt: \( \frac {2(x-1)^2-2(1-x)(x+1)-(-1+4x)(x-1)}{2(x+1)(x-1)} \) Daraus folgt dann letztlich \( \frac {1}{2(x+1)} \) So nun meine Frage dazu: Wieso verschwinden die beiden Terme (x+1) und (x-1)? Kürzen sich diese heraus? Wenn ja, warum und wie? Und wann? Also schon im Zwischenschritt von: \( \frac {2(x-1)^2-2(1-x)(x+1)-(-1+4x)(x-1)}{2(x+1)(x-1)} \) verstehe ich nicht wo das eine (x+1) aus dem Nenner hingekommen ist. Herzliche Grüße Benjamin
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Nimmst du den langen Bruch, so kannst du (x-1) im Zähler ausklammern und dann kürzen.

Ich würde allerdings schon ganz zu Beginn geschickt kürzen:

\(\frac{x-1}{x+1} - \frac{1-x}{x-1}-\frac{-1+4x}{2(x+1)}=\frac{x-1}{x+1} - \frac{-(x-1)}{x-1}-\frac{-\frac12+2x}{x+1}=\frac{x-1}{x+1} +1-\frac{-\frac12+2x}{x+1} =\frac{x-1}{x+1} +\frac{x+1}{x+1} -\frac{-\frac12+2x}{x+1}\)

\(=\frac{(x-1) +(x+1)-(-\frac12+2x)}{x+1}=\frac{x-1 +x+1+\frac12-2x}{x+1}= \frac{\frac12}{x+1}= \frac1{2(x+1)}\)

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Okay das sieht super aus. Eine Frage dazu habe ich noch: Darfst du den Schritt \( \frac {−(x-1)}{x-1} \) durchführen weil gilt: \( - \frac{a}{b} = \frac{-a}{b} \) bzw auch \( \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} \) oder wie kommst du darauf da einfach ein Minus in den Zähler zu zaubern?

Herzliche Grüße

Benjamin   ─   benitodilorenzo 28.06.2020 um 12:18
Tatsächlich habe ich eine Minus 1 ausgeklammert im Zähler:
\(1-x= -1\cdot (-1+x)=-(x-1)\)   ─   mathe.study 28.06.2020 um 12:40
Ja das habe ich gesehen. Nur nach welcher Regel darfst du dies tun? Welcher algebraische Vorgang findet hier statt?

Herzliche Grüße,
Benjamin   ─   benitodilorenzo 28.06.2020 um 13:27
Ich denke, man nennt es "Ausklammern" - Fachbegriff: Distributivgesetz. Diese Termumformmung hat gar nichts mit dem Bruch zu tun.   ─   mathe.study 28.06.2020 um 13:31
Und wieso fallen die beiden ersten Terme weg? :D Je länger ich daraufschaue desto verwirrter werde ich.

Liebe Grüße

Benjamin   ─   benitodilorenzo 28.06.2020 um 14:52
Hab noch nen Zwischenschritt eingefügt :-)   ─   mathe.study 28.06.2020 um 15:00
Juhuu jetzt wirds natürlich klar. Vielen Dank!   ─   benitodilorenzo 28.06.2020 um 15:21
Gerne :-) Über ein Abo meines Youtube-Kanals würde ich mich freuen :-) - MATHEstudy   ─   mathe.study 28.06.2020 um 15:49

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x-1  kürzt sich aus allen 3 Zählertermen weg. Der Rest ist zusammenfassen.

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