Moin andidas96!

Du hast hier zwei homogene, lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Dafür nutzt du am besten den Ansatz: \(x=C\cdot e^{\lambda\cdot t}\)

Schauen wir uns mal das erste Problem an, das zweite solltest du damit dann alleine hinbekommen!

Zuerst bilden wir die Ableitungen um \(\lambda\) zu bestimmen. Mit Hilfe deiner Anfangswerte können wir später \(C\) bestimmen.

\(\dot x=\lambda\cdot C e^{\lambda \cdot t }\)

\(\ddot x=\lambda^2\cdot C e^{\lambda \cdot t }\)

Das können wir jetzt in unsere DGL einsetzen und so \(\lambda\) bestimmen. Dafür kommt heraus: \(\lambda=\pm 2i\)

Damit folgt, dass unsere DGL die allgemeine Lösung \(x=C_1 \cdot e^{-2i\cdot t}+C_2 \cdot e^{2i\cdot t}, \ \ \ \  \ C_1,C_2 \in \mathbb{R}\)

Das können wir unter Verwendung von \(e^{ai\cdot x}=\cos ax + i\cdot \sin ax\) noch etwas umschreiben: \(x=C_3 \cos 2t+C_4 \sin 2t, \ \ \ \ \ C_3,C_4 \in \mathbb{R}\). Nun gilt es noch \(C_3,C_4\) zu bestimmen. Dafür bildest du die Ableitung, setzt deine Anfangswerte ein und hast dann ein kleines Gleichungssystem. Das kriegst du sicher alleine hin!

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Grüße