Gauß Algorithmus mit fünf Punkten, Konstante e? Effizientestes Vorgehen?

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Hallo,
ich rechne gerade eine weitere Aufgabe zum Gauß-Algorithmus. Die Aufgabe lautet:

f(x) =  a \(x^4\) + b \(x^3\) + c \(x^2\) + d x +e   Mit den fünf Punkten:

A (0 / 6), B (1 / -12), C (2 / -36), D (-3 / 84), E (4 / 210)
Erstellen Sie ein Gleichungssystem für die fünf Koeffizienten a, b, c, d und e und lösen Sie dieses mit Hilfe der Methode von Gauss.

Wenn ich das richtig verstehe, stell ich zunächst fünf Gleichungen (A bis E) auf. Die x Werte ersetze ich z.B. bei C mit \(2^4\) \(2^3\)  \(2^2\)  2. Was mache ich aber mit dem e? Da ist ja gar kein x?? Ich habe mir gedacht, dass ich das e wohl einfach allein da stehen lasse.

Als Nächstes hab ich mir gedacht, da A für x eine Null hat, würde es vllt. Sinn machen diese Gleichung für die Stufenform gleich ganz unten hinzuschreiben. Ich habe also folgendes Gleichungssystem aufgestellt:

Zunächst nulle ich also die erste Spalte mit C - 16B, D - 81A und E - 256B

Dann nulle ich die zweite Spalte für die Stufenform: D - 13,5C und E - 24C

Um jetzt noch die dritte Spalte bei E zu nullen ist 90 : 48 = 1,875 ein blöder Wert

Deswegen hab ich stattdessen das für beide Zahlen das kgV = 720 genommen und dementsprechend 15E - 8D gerechnet:

Damit wäre e = 6. Folgend ist 420x + 595 * 6 = 1470 | -3570
420x = -2100 | :420
x = -5

Das klingt nach einem ganz schlüssigen Ergebnis. Muss ich jetzt noch weiterrechnen? Oder musste ich sowieso nur x berechnen und \(x^2\)  , \(x^3\) , \(x^4\) ergibt sich ja dann automatisch? 

Ich bin etwas verwirrt, denn wenn ich weiterrechne bei D wäre es ja:

 

720 \(x^2\) + 840 * (-5) + 980 * 6 = -8400

720 \(x^2\) - 4200 + 5880 = -8400 | - 1680

720 \(x^2\) = -10080 | :720

\(x^2\) = -14

Wie kann das sein? Müsste da nicht x * x = 25 herauskommen? Oder sind das doch grundverschiedene Variablen und es stimmt schon alles so und ich kann sorglos so weitermachen? War das mit e überhaupt richtig? Hätte ich vllt. doch nicht die Reihenfolge der Gleichungen umstellen sollen und hätte so deutlich effizienter rechnen können?

Ich hoffe meine Fragen sind verständlich, LG Arne

 

 

gefragt vor 2 Wochen, 2 Tage
a

 

Nachdem Du e hast berechnest Du ein x?. Das ist aber eigentlich d. Dann in der derüberliegenden Gleichung wird c berechnet usw.   -   professorrs, verified vor 2 Wochen, 2 Tage

Wenn du A(0 |6) in die Funktion einsetzt, hast du schon mal e = 6. In die 1.Matrix oben gehört in die letzte Spalte jeweils 1.   -   scotchwhisky, vor 2 Wochen, 2 Tage

Beim "Nullen" C-16B muss in der neuen Zeile C stehen: 0, -8, -12, -14, -15 | 156   -   scotchwhisky, vor 2 Wochen, 2 Tage
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1 Antwort
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Bis vor Deinem ersten Bild ist alles gut. e ist eine Unbekannte wie a,b,c,d auch,die hat in der Matrix nichts zu suchen. Der Vektor, mit dem die Matrix multipliziert wird, ist ja \((a,b,c,d,e)\) (als Spalte. In der rechten Spalte der Matrix stehen nur Einsen.

Die Idee mit dem Punkt A ist gut, denn den einzusetzen liefert Dir sofort e=6 (ohne weitere Hilfsmittel wie Matrizen usw.) Wenn Du das nun bekannte e in den anderen Gleichungen benutzt, reduziert sich alles auf 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.\((a,b,c,d)\).

Streng genommen hast Du dann nicht alles mit dem Gauß-Alg. gelöst, wenn das so streng gesehen wird, schleppst Du halt die Einser-Spalte aus 5. Spalte und die Unbekannte e einfach mit. Am Ende ist sie dann 6. 

geantwortet vor 2 Wochen, 1 Tag
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 2.28K
 
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