Nach \(x\) auflösen.

\(\frac{cx}{c+x}=\frac{x}{x-1}\)

\(cx^2-cx=xc+x^2\)

\((c-1)x^2-2cx=0\)

\(((c-1)x-2c)x=0\)

Die Lösungen sind also \(x=0\) und \(x=\frac{2c}{c-1}\).

Allerdings darf man \(x=0\) nicht in die obere Gleichung einsetzen.

Die zweite Lösung existiert für alle \(c\) außer \(c=1\) und \(c=0\) ist wegen \(x^{-1}\) verboten.

Bleibt noch zu überprüfen ob \(\frac1x+\frac1c=0\) ist - also \(\frac{c-1}{2c}+\frac1c=0\) was das gleich ist wie \(\frac{c+1}{2c}=0\)  ... also ist auch \(c=-1\) verboten.

Antwort: Für \(c=1\) und \(c=0\) und \(c=-1\) gibt es keine Lösung, für alle anderen rellen Zahlen die Lösung \(x=\frac{2c}{c-1}\)