Zu der zweiten Frage: Ich hole etwas aus und hoffe, das hilft.
Der gewichtete Schwerpunkt der Menge \((A_1,\alpha_1),\ldots,(A_p,\alpha_p)\) heiße \(S_A\) und er erfüllt wie ganz oben in deinem Buchausschnitt gezeigt für jeden Punkt \(O\) die Identität
\(\alpha\cdot \vec{OS_A}= \sum_{i=1}^p \alpha_i\cdot\vec{OS_A}\).
Der gewichtete Schwerpunkt der Menge \((B_1,\beta_1),\ldots,(B_q,\beta_q)\) heiße \(S_B\) und er erfüllt wie ganz oben in deinem Buchausschnitt gezeigt für jeden Punkt \(O\) die Identität
\(\beta\cdot \vec{OS_B}= \sum_{i=1}^q \beta_i\cdot\vec{OS_B}\).
Der gewichtete Schwerpunkt des Systems der Menge \((A_1,\alpha_1),\ldots,(A_p,\alpha_p),(B_1,\beta_1),\ldots,(B_q,\beta_q)\) heiße \(S\) und ist per Definition der eindeutige Punkt, für den gilt
\(\alpha_1\cdot \vec{SA_1} + \alpha_2\cdot \vec{SA_2}+\ldots+ \alpha_p\cdot \vec{SA_p}+\beta_1\cdot \vec{SB_1} + \beta_2\cdot \vec{SB_2}+\ldots+ \beta_q\cdot \vec{SB_q}=0\)
Etwas anders geschrieben ist das
\(\sum_{i=1}^p \alpha_i\cdot \vec{SA_i}+\sum_{i=1}^q \beta_i\cdot \vec{SB_i}=0\qquad\) (*)
Der Schwerpunkt \(S_{AB}\) der zwei Punkte \((S_A,\alpha)\) und \((S_B,\beta)\) ist per Definition der eindeutige Punkt mit
\(\alpha\cdot \vec{S_{AB}A_S} +\alpha\cdot \vec{S_{AB}B_S}=0\qquad\) (**)
Jetzt stellt man fest, dass die beiden Punkte \(S\) und \(S_{AB}\) identisch sind - dazu addiert man die oben gegebeben Identitäten, wobei man \(O=S\) setzt:
\(\alpha\cdot \vec{SS_A} + \beta\cdot \vec{SS_B} = \sum_{i=1}^p \alpha_i\cdot\vec{SS_A} + \sum_{i=1}^q \beta_i\cdot\vec{SS_B} = 0\)
Dass diese Summe \(0\) ist, folgt aus (*) - demnach sind mit (**) \(S\) und \(S_{AB}\) identisch.
Lehrer/Professor, Punkte: 1.29K
LG Joline :) ─ joline 03.07.2020 um 15:58