Gewichteter Schwerpunkt( ich brauche nochmal Hilfe dabei)

Aufrufe: 55     Aktiv: vor 3 Tage, 18 Stunden

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Hallo,

ich brauche hilfe dabei folgende Definition zu verstehen. (habe ich durch unten stehende Antworten schon verstanden)

 

Ich habe konkrete stellen, die ich nicht verstehe:

-was sind "gewichtete Punkte"?

- wie genau kommt man auf die "leichte Umformung" (*)

-Wie kommt man am ende darauf, dass die Bedingung f(S)=0 äquvalent zu f(0)=mOS ist und wieso lässt sich OS dann so eindeutig definieren?

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Hier brauche ich noch Hilfe:

Ich bräuchte auch nochmal bei folgendem Beweis hilfe. Ich verstehe nicht warum am Ende folgt, dass es gleich 0 ist und warum dadurch dann die Behauptung gezeigt ist.

Ich freue mich über jede hilfe.

LG Joline

 

gefragt vor 1 Woche
j
joline,
Student, Punkte: 91

 
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3 Antworten
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Zu der zweiten Frage: Ich hole etwas aus und hoffe, das hilft.

Der gewichtete Schwerpunkt der Menge \((A_1,\alpha_1),\ldots,(A_p,\alpha_p)\) heiße \(S_A\) und er erfüllt wie ganz oben in deinem Buchausschnitt gezeigt für jeden Punkt \(O\) die Identität

\(\alpha\cdot \vec{OS_A}= \sum_{i=1}^p \alpha_i\cdot\vec{OS_A}\).

Der gewichtete Schwerpunkt der Menge \((B_1,\beta_1),\ldots,(B_q,\beta_q)\) heiße \(S_B\) und er erfüllt wie ganz oben in deinem Buchausschnitt gezeigt für jeden Punkt \(O\) die Identität

\(\beta\cdot \vec{OS_B}= \sum_{i=1}^q \beta_i\cdot\vec{OS_B}\).

Der gewichtete Schwerpunkt des Systems der Menge \((A_1,\alpha_1),\ldots,(A_p,\alpha_p),(B_1,\beta_1),\ldots,(B_q,\beta_q)\) heiße \(S\) und ist per Definition der eindeutige Punkt, für den gilt

\(\alpha_1\cdot \vec{SA_1} + \alpha_2\cdot \vec{SA_2}+\ldots+ \alpha_p\cdot \vec{SA_p}+\beta_1\cdot \vec{SB_1} + \beta_2\cdot \vec{SB_2}+\ldots+ \beta_q\cdot \vec{SB_q}=0\)

Etwas anders geschrieben ist das

\(\sum_{i=1}^p \alpha_i\cdot \vec{SA_i}+\sum_{i=1}^q \beta_i\cdot \vec{SB_i}=0\qquad\) (*)

Der Schwerpunkt \(S_{AB}\) der zwei Punkte \((S_A,\alpha)\) und \((S_B,\beta)\) ist per Definition der eindeutige Punkt mit

\(\alpha\cdot \vec{S_{AB}A_S} +\alpha\cdot \vec{S_{AB}B_S}=0\qquad\) (**)

Jetzt stellt man fest, dass die beiden Punkte \(S\) und \(S_{AB}\) identisch sind - dazu addiert man die oben gegebeben Identitäten, wobei man \(O=S\) setzt:

\(\alpha\cdot \vec{SS_A} + \beta\cdot \vec{SS_B} = \sum_{i=1}^p \alpha_i\cdot\vec{SS_A} + \sum_{i=1}^q \beta_i\cdot\vec{SS_B} = 0\)

Dass diese Summe \(0\) ist, folgt aus (*) - demnach sind mit (**)  \(S\) und \(S_{AB}\) identisch.

geantwortet vor 4 Tage, 10 Stunden
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 930
 

Wenn dir diese Ausführungen geholfen haben, würde ich mich über ein Abo meines Youtube-Kanals MATHEstudy freuen :-) VG   -   mathe.study, vor 4 Tage, 10 Stunden

Vielen dank für deine Mühe :), Das hat mir echt super weiter geholfen. Ich werde auf jeden Fall mal bei deinem Youtube Kanal vorbei schauen.
LG Joline :)
  -   joline, vor 3 Tage, 18 Stunden
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Das sind einfach Punkte, die mit einem Gewichtswert versehen sind - so einfach ist das. Ein gewichteter Punkt ist ein Tupel \((A_i,m_i)\), wobei \(A_i\) ein Punkt des euklidischen Raums ist und \(m_i\) sein Gewicht - eine reelle Zahl.

Die Umformung ist recht einfach - du ziehst die Summe auseinandern:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^p m_i\cdot (\vec{MM'}+\vec{M'A_i})=\sum_{i=1}^p m_i\cdot \vec{MM'}+\sum_{i=1}^pm_i\cdot\vec{M'A_i}\)

Dann beonachtest du, dass der Vektor \(\vec{MM'}\) gar nicht vom Laufindex der Summe abhängt. Also

\(\sum_{i=1}^p m_i\cdot \vec{MM'}= \vec{MM'} \cdot \sum_{i=1}^p m_i= \vec{MM'} \cdot m\)

und die Summe der \(m_i\) per Definition \(m\) ist.

Die letzte Frage verstehe ich nicht. Fehlt da etwas? Was ist OS?

geantwortet vor 1 Woche
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 930
 

Ja ich hatte vergessen ein Bild hochzuladen, was noch vor der Definition kommt. Ich habe es oben eingefügt.
Vielen dank schon mal.
  -   joline, vor 1 Woche
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Zweiter Teil: :-)

Ist \(m=0\), so können wir mit (*) argumentieren, dass

\(f(M)= m\cdot \vec{MM'}+ f(M')=0\cdot \vec{MM'}+ f(M')=f(M')\)

alle Punkte auf denselben Wert abgebildet werden. Also alle gleich \(0\) oder alle ungleich \(0\).

Ist \(m\neq0\) - wir suchen ein \(S\) mit der Eigenschaft, dass \(f(S)=0\) ist. Wieder betrachten wir die Gleichung (*) und erhalten in diesem Fall

\(f(O)= m\cdot \vec{OS}+ f(S)= m\cdot \vec{OS}\)

Stellt man diese Gleichung um und setzt die Definition von \(f\) ein, ist \(S\) der (eindeutige) Punkt, der die Gleichung

\(\vec{OS} =\frac1m\cdot\sum_{i=1}^pm_i\cdot \vec{OA_i}\)

erfüllt.

geantwortet vor 1 Woche
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 930
 

Hi, könntest du mir vielleicht nochmal bei etwas zu diesem Thema helfen? Ich habe oben noch einen Satz hinzugefügt und brauch Hilfe dabei den Beweis zu verstehen. Ich verstehe nicht warum am Ende folgt, dass es gleich 0 ist und warum dadurch dann die Behauptung gezeigt ist.   -   joline, vor 4 Tage, 13 Stunden
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