Das wäre so, wenn x und nicht x^3 als Grenze dort stehen würde. Ich denke die Regel lautet hier \( F'(x)=3x^2 \frac{sin(x^3)}{x^3} \). Vielleicht kann das noch jemand anderes bestätigen.

Ich will es versuchen: \( F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}) = \lim_{\Delta x \to 0} ((1/\Delta x) \int_{x^3}^{(x+\Delta x)^3} f(t) dt)\). Nun ist das Integral Intervallbreite mal ein (unbekannter) Funktionswert \(f(x_0) \), der irgendwo im Integrationintervall liegt. Also \(F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}({ \frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x} f(x_0) }) \). Bildet man nun den Grenzwert, so wird aus dem Bruch die Ableitung von x^3 und x0 muß gegen x^3 streben. Das müßte dann meinen Vorschlag ergeben.

Eine einfache Herleitung ohne Grenzwerte:

Sei \(G(x) = \int_1^x \frac{\sin t}t\, dt\). Dann ist ja klar, dass \(G'(x) = \frac{\sin x}x\).

Unsere Funktion \(F\) ist nichts anderes als \(F(x)=G(x^3)\). Leiten wir \(F\) mit der Kettenregel ab:

\(F'(x) = G'(x^3)\, 3\,x^2 = \frac{\sin x^3}{x^3}\,3\, x^2\), fertig.