Partielle Integration anhand dieses Beispieles erklärt?

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Hallo ich bins wieder..

Nach tagelangen ableiten bin ich nun bei der partiellen integration gelandet.

ich hab mir jedes erdänkliche video dazu angesehen unf komm trotzdem nicht drauf wie man da am besten vorgeht

Leider ist das für mich nicht leicht mit den ganzen u's und v's

kann mir das jemand schrittweise erklären anhand dieses Beispiels?

 

\(\int_1^3  (2x+4)*e^x dx \)

 

Danke! :) 

 

gefragt vor 1 Woche, 3 Tage
r

orthando verified, bearbeitet vor 1 Woche, 3 Tage

 

die partielle integration ist in gewisser hinsicht die umkehroperation zur produktregel beim ableiten.   -   phi, vor 1 Woche, 3 Tage
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1 Antwort
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Die Produktregel beim Differenzieren lautet: \((u*v)´ = u´*v + v´*u \).
Diese Gleichung etwas umgestellt : \( u´*v = (u*v)´- v´*u\). Integral dieses Ausdrucks: \(\int_a^b (u´v) dx = \int_a^b(u*v)´dx - \int_a^b(v´*u)dx\).
Auf die Aufgabe angewendet ist \(\int_a^b(u´*v) dx \) das Integral, das du lösen sollst. Die Lösung ist gleich der rechten Seite \(\int_a^b   (u*v)´dx - \int_a^b (v´*u)dx\), wobei
\( \int_a^b(uv)´dx = (u*v)|_{a} ^b\) ist und man nur noch das Integral \(\int_a^b (v´*u)dx\) lösen muss.Jetzt kommt es darauf an,im Ursprungsintegral u´ und v geschickt zu wählen.
Bei \((2x+4) *e^x \) ist \(e^x\) ein guter Kandidat für \(u´\). Da hat man schnell \(u =e^x\). 
\((2x+4)\) ist dann \(v\) woraus durch Ableiten folgt \( v´= 2\). Jetzt haben wir alle Zutaten zusammen und setzen ein:
\(\int_1^3 u´*vdx =\int_1^3e^x* (2x+4)dx =(u*v)|_1^3 -\int_1^3(v´*u)dx= [e^x*(2x+4)]|_1^3 - \int_1^32*e^xdx\). Das verbleibende Integral ist hier leicht zu lösen.
Und das war der Sinn der Sache: durch geschicktes Wählen von u´ und v ein einfacheres Integral zu finden.

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
s
scotchwhisky
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