Homogenitätseigenschaft bei Summen?

Aufrufe: 34     Aktiv: vor 6 Tage, 20 Stunden

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Liebe Leute

Hier eine Aussage, bei welcher bei mir einfach noch nicht der "klick" gekommen ist.

Die Aussage ist folgende:

Es geht hier um die Abweichung des arithmetischen Mittels, dem Mittelwert und \( x_{i} )\

Der Mittelwert wird definiert als 

\( \frac {1}{T} \sum_{i=1}^{T} X_{i} = U_{x} \)

Ich soll beweisen, dass:

\( \sum_{i=1}^{T} (X_{i} - U_{x}) = 0 \)

 

\( U_{x} \) ist dabei der Mittelwert

Nun kommt folgendes heraus (in meinem Buch):

\( T_{u_{x}} - T_{u_{x}} = 0 \)

 

Wie kommt hierbei das T zur Summe: \(  \sum_{i=1}^{T} X_{i} \)  ???

 

Liebe Grüße

 

Benjamin

 

gefragt vor 6 Tage, 21 Stunden
b
benitodilorenzo,
Student, Punkte: 18

 

Was genau ist \(U_x\)? Sind die \(X_i\) reelle Zahlen? Was ist \(T_{u_x}\)?   -   mathe.study, vor 6 Tage, 21 Stunden

Hallo lieber Freund.

Ich habe es eben nochmal bearbeitet, Ux ist der Mittelwert definiert als die Summe Xi x 1/T

Was \( T_{u_{x}}\) bedeutet kann ich eben auch nicht sagen. Ich vermute mal, dass hier der Mittelwert mal T genommen wird.

Ich mache gleich mal ein Foto.
  -   benitodilorenzo, vor 6 Tage, 21 Stunden
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1 Antwort
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Es gilt

\(U_x= \frac1T\sum_{i=1}^T X_i\)

und demnach

\(T\cdot U_x= \sum_{i=1}^T X_i\)   (*)

Außerdem ist

\(\sum_{i=1}^T(X_i-U_x)= \sum_{i=1}^TX_i-\sum_{i=1}^TU_x = \sum_{i=1}^TX_i  -T\cdot U_x\)

und mit (*) ist

\(\sum_{i=1}^TX_i  -T\cdot U_x= T\cdot U_x-T\cdot U_x=0\)

geantwortet vor 6 Tage, 21 Stunden
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 930
 

haha. ja Danke! Das ist super sinnvoll für mich bis zu dem Moment wo ich mich frage, wie das T plötzlich an das \( X_{i}\) kommt.
Jetzt dämmert mir aber so langsam, dass ja \(sum_{i=1}^{T}x_{i}\) ja bereits genau ist wie \(U_{x}\) bevor ich das ganze mal T nehme. Stimmt das so? ich habe immer noch einen Knoten im Hirn und werde darüber noch eine Weile meditieren.

Danke und herzlichen Gruß

Benjamin
  -   benitodilorenzo, vor 6 Tage, 21 Stunden

Klingt sehr sinnvoll :-) Gerne freue ich mich übrigens über ein Abo meines Youtube-Kanals - da findest du vielleicht noch andere hilfreiche Gedankenanstöße :-) MATHEstudy heißt der Kanal. Aber das weißt du ja schon :-) Viele Grüße   -   mathe.study, vor 6 Tage, 21 Stunden

Okay. Aber nun noch eine letzte Frage. Darf ich denn, sobald ich die Gleichheit des einen Termes mit einem anderen erkennen, einfach den einen mit dem anderen Term ersetzen, ohne die Rechenschritte hinzuschreiben?
Das ist es glaube ich, was mir gerade den Kopfsalat bereitet:
Ich nehme das ganze ja eben NICHT mal T. Das muss ich aber ja auch gar nicht, da ja die Ursprüngliche Summe bereits der Gleiche Term ist, wie der Mittelwert \(U_{x}\) MIT der Multiplikation mit T.

Also ich zeige hier Quasi nur die Rechenschritte wobei ich dann einfach das Eine mit dem Anderen Austausche weil es ja das gleiche ist.

Aber wohin ist die Multiplikation mit dem T? Ich meine ich musste ja schlieslich den Mittelwert erst mit T multiplizieren um auf die Summe zu kommen.

Oder MUSS ich hier gar nicht so kompliziert denken, da es sich um eine Summe handelt und ich im Grunde die beiden Summanden auch getrennt voneinander bearbeiten und umformen darf? Um dann über die Additivität der Summenregeln letztlich zum Beweis zu kommen?

mhhhhh
  -   benitodilorenzo, vor 6 Tage, 20 Stunden

Ich verstehe dein Bedenken - aber tatsächlich kannst du den ganzen Term als Variable auffassen und dann so etwas wie ein Einsetzungsverfahren anwenden. Du kannst auch erst nach \(U_x\) auflösen und dann einsetzen, das ändert aber nichts.   -   mathe.study, vor 6 Tage, 20 Stunden

Nun also ich bin jetzt auf folgende hirnverbrannte Idee gekommen um zu versuchen, mir das ganze zu visualisieren:


https://s12.directupload.net/images/200630/5q6gn5hc.jpg

Aber trotzdem will es nicht in mein Hirn.
  -   benitodilorenzo, vor 6 Tage, 20 Stunden
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