Eine geschlossene (explizite) Formel für fn herleiten, Lösung

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Hallo Leute, könnte mir jemand manche Teilrechnungen dieser Aufgabe Erklären? Ich habe die mir unklaren Stellen gelb markiert. 

Lg kamil

 

gefragt vor 6 Tage, 15 Stunden
k
kamil,
Student, Punkte: 269

 
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1 Antwort
1

Hallo,

1) 

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f_{n-1} \\ f_{n-2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_{n-1} + f_{n-2} \\ f_{n-2} \end{pmatrix} $$

2) 

$$ \underset{\textbf{X}}{\underbrace{\begin{pmatrix} \frac {1+ \sqrt{5}} 2 & \frac {1- \sqrt{5}} 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}} \cdot \begin{pmatrix} \left( \frac {1+ \sqrt{5}}  2 \right)^n & 0 \\ 0 & \left( \frac {1 - \sqrt{5}} 2 \right)^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left( \frac {1+\sqrt{5}} 2 \right)^{n+1} & \left( \frac {1- \sqrt{5}} 2 \right)^{n+1} \\ \left( \frac {1+ \sqrt{5}} 2 \right)^n & \left( \frac {1- \sqrt{5}} 2 \right)^n \end{pmatrix} $$

Wenn du das noch mit dem Vektor multiplizierst, erhälst du das Ergebnis mit dem \(-\).

3)  Da

$$ f_n = \frac 1 {\sqrt{5}} \left[ \left( \frac {1+ \sqrt{5}} 2 \right)^n - \left( \frac {1 - \sqrt{5}} 2 \right)^n \right] $$

schätzen wir hier den hinteren Teil ab. Wir erhalten das dieser kleiner als \( \frac 1 2 \) ist. Somit können wir \( f_n \) abschätzen um es leichter zu berechnen.

4) 

Ich setze hierfür

$$ \frac {1+ \sqrt{5}} 2 = a $$

Damit gilt

$$ \begin{array}{ccccl} & \frac 1 {\sqrt{5}} \left( a \right)^x & = & 3900 & | \cdot \sqrt{5} \\ \Rightarrow & (a)^x & = & \sqrt{5} \cdot 3900 & | \log_a(\ldots) \\ \Rightarrow & x & = & \log_a(\sqrt{5} \cdot 3900) \\ \Rightarrow & x & = & \frac {\ln(\sqrt{5} \cdot 3900)} {\ln(a)} \end{array} $$

Der letzte Schritt gilt durch den Basiswechsel des Logarithmus.

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Tage, 20 Stunden
christian_strack verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 23.35K
 

Leider verstehe ich zu 1) immer noch ein Teil nicht. Und zwar das, was am Ende kommt als Vektor "(Fn+1, Fn)^T. Wenn ich für n=0 einsetze, kommt am Ende raus, dass Fo=1 ist. Nach Text ist es aber 0.

Habe ein neues Bild der Rechnung zugefügt. Ich habe sowohl das orange als auch das gelbe ausmultipliziert. Ich verstehe das nicht.

Alle anderen Unklarheiten sind beseitigt

Liebe Grüße

Kamil
  -   kamil, vor 5 Tage, 12 Stunden

Ich bin mir nicht sicher ob ich dich gerade richtig verstehe, aber es gilt nach Definiton
$$ A^0 = E $$
mit \( E \) der Einheitsmatrix. Also ist
$$ \begin{pmatrix} f_{0+1} \\ f_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^0 \cdot \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} $$
  -   christian_strack, verified vor 5 Tage, 1 Stunde

Hmm wieso nehmt man im weiteren Verläufen nur die Matrix hoch n, und den Vektor nicht? Der bleibt ja die ganze Zeit (1 0)^T. Wieso nehmt man hierfür auch nicht den Vektor hoch "n". Dann sollte der Vektor auch ansteigen, wenn man überall gleichzeitig n einsetzt?   -   kamil, vor 5 Tage

Im ersten Schritt wird gezeigt, dass
$$ \begin{pmatrix} f_{n+1} \\ f_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f_n \\ f_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} f_{n-1} \\ f_{n-2} \end{pmatrix} $$
Das was wir hier eigentlich zeigen, ist das wenn wir auf den Vektor
$$ \begin{pmatrix} f_{i+1} \\ f_{i} \end{pmatrix} $$
die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
loslassen, der Index von \( f_i \) um \( 1 \) erhöht wird.
Wenn wir also den Startvektor
$$ \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} $$
nehmen und darauf die Matrix loslassen, erhalten wir
$$ \begin{pmatrix} f_2 \\ f_1 \end{pmatrix} $$
Machen wir das nochmal, erhalten wir den Vektor
$$ \begin{pmatrix} f_3 \\ f_2 \end{pmatrix} $$
Wir müssen also \( n\)-mal die Matrix auf den Vektor anwenden, damit wir
$$ \begin{pmatrix} f_{n+1} \\ f_{n} \end{pmatrix} $$
erhalten. Anwenden bedeutet hier aber mutiplizieren. also
$$ \begin{pmatrix} f_{n+1} \\ f_{n} \end{pmatrix} = \underset{n-mal}{\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \ldots \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}} \cdot \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} $$
Da die Matrizenmultiplikation aber assoziativ ist, können wir auch anstatt die Matrix \( n \)-mal nacheinander auf den Vektor loszulassen, zuerst die Matrizen miteinander multiplizierien. Und so erhalten wir
$$ \begin{pmatrix} f_{n+1} \\ f_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n \cdot \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} $$
  -   christian_strack, verified vor 4 Tage, 18 Stunden

Ich verstehe immer noch eins nicht. Nach Definition ist A⁰=E. Da setzt du für n=0 ein, sowohl für die Matrix als auch für den Vektor fn+1 und fn. Machen wir das jetzt für n=5 als Beispiel. Dann habe ich das, was auf dem neuen Bild eingesetzt. P.S: Sry für die ganzen Bilder, aber ich kann mit dem Programm bezüglich der Eingabe der mathematischen Ausdrücke echt nicht umgehen.

Das heißt, der Vektor hat sich geändert am Ende(das gelb markierte). In diesen letzten Kommentar von dir setzt man das "n" aber nur für die Matrix ein und lässt diese immer auf den gleichen Vektor los(f₁ f₀)^T. Der ist immer fest, obwohl ich für (fn+1 fn)^T andere n's habe, bleibt der Vektor gleich, was irgendwie ein Widerspruch zu deinem letzten Kommentar ist, indem für n=0 eingesetzt wird. Da wird das auch für die Vektoren eingesetzt und da kommt auch der Vektor (f₁ f₂)^T raus, aber nur für n=0. Für andere n's, wie z.B. für n=5, kommt da ja der Vektor (f₆ f₅)^T. Folglich wird die Matrix auf diesen Vektor (f₆ f₅)^T los geschickt.

Puhh ich hoffe, ich habe das jetzt deutlich klar gemacht. Verstehst du? :D
  -   kamil, vor 4 Tage

Ich versuche es nochmal anders zu erklären.
Durch die letzten Fragen die wir zusammen durchgegangen sind, haben wir ja schon ein paar mal gesehen, das eine Matrix als lineare Abbildung interpretiert werden kann.
Ein Matrix nimmt also einen Vektor und bildet diesen auf einen anderen Vektor ab.
Ich mache mal ein paar Abkürzungen um mir etwas Schreibarbeit zu sparen
$$ \vec{f}_i = \begin{pmatrix} f_{i+1} \\ f_i \end{pmatrix} $$
und
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Nun wurde ja gezeigt, das die Matrix \( M \) den Vektor \( \vec{f}_i \) auf \( \vec{f}_{i+1} \) abbildet.

Wir fangen nun an mit dem Startvektor
$$ \vec{f}_0 = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} $$
Durch die Abbildung wir dieser auf den nächsten Vektor abgebildet.
$$ M \cdot \vec{f}_0 = \vec{f}_1 $$
Wenn wir den abbilden, erhalten wir
$$ M \cdot \vec{f}_1 = \vec{f}_2 $$
usw. Nun können wir hier schon die erste Gleichung in die zweite einsetzen
$$ \vec{f}_2 = M \cdot \vec{f}_1 = M \cdot ( M \cdot \vec{f}_0 ) =(M \cdot M) \cdot \vec{f}_0 = M^2 \cdot \vec{f}_0 $$
Das können wir rekursiv so fortführen.
$$ \vec{f}_3 = M \cdot \vec{f}_2 = M \cdot (M^2 \cdot \vec{f}_0) = (M \cdot M^2) \cdot \vec{f}_0 = M^3 \cdot \vec{f}_0 $$
Du siehst also, das wir direkt den Startvektor nehmen können. Wir bilden durch die \(n\)-te Potenz quasi die Komposition von \(n \)-mal \( M \)
$$ \underset{n-mal}{\underbrace{M \circ M \circ \ldots \circ M}} $$
Wir erhalten also eine neue Abbildung, die direkt den \(n\)-ten Wert der Folge berechnet. Und genau das ist ja auch das Ziel. Wir wollen nicht mehr die Rekurssion nutzen sondern eine explizite Form haben.

So wie du es auf dem Bild schreibst, steht es ja auch nicht da. Für \( n=5 \) erhalten wir
$$ \begin{pmatrix} f_6 \\ f_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ^5 \cdot \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8f_1 + 5f_0 \\ 5f_1 + 3 f_0 \end{pmatrix} $$
Jetzt kannst du mal deine Startwerte einsetzen und wirst sehen, dass dies richtig ist.
  -   christian_strack, verified vor 3 Tage, 18 Stunden

Jetzt verstehe ich das.

Ich bin jetzt bei 2) angekommen und versuche es nachrechnen.

Könntest du mir nochmal sagen, wieso nur die Diagonalmatrix "^n" genommen wird, und nicht die "X"- und "X‾¹"-Matritzen auch? Der ganze Ausdruck "(XDX‾¹)^n" steht unter der Potenz "n"?
  -   kamil, vor 1 Tag, 18 Stunden

Gucken wir uns nur mal die zweite Potenz an.
Da
$$ X \cdot X^{-1} = E $$
gilt, gilt auch
$$ (X \cdot A \cdot X^{-1}) \cdot ( X \cdot A \cdot X^{-1}) = X \cdot A \cdot (X^{-1} \cdot X) \cdot A \cdot X^{-1} = X \cdot A \cdot E \cdot A \cdot X^{-1} = X \cdot A^2 \cdot X^{-1} $$
Das können wir nun auf jede Potenz übertragen.
  -   christian_strack, verified vor 1 Tag, 1 Stunde
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